Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рмапорядка$k$,или$k$-форма,—кососимметрическоетензорное полетипа$(0,k)$намногообразии.

Дифференциальные формы были введеныЭли Картаномв началеXX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделахтеоретической физикииматематики,в частности, втеоретической механике,симплектической геометрии,квантовой теории поля.

Пространство$k$-форм на многообразии$M$обычно обозначают$\Omega ^{k}(M)$.

Определения

Инвариантное

Вдифференциальной геометриидифференциальная форма степени$k$,или просто$k$-форма,— это гладкоесечение$\wedge ^{k}T^{*}M$,то есть$k$-йвнешней степеникокасательного расслоениямногообразия. В частности,

• значение$k$-формы на наборе из$k$штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение$k$-формы в точке$x$многообразия есть кососимметрический$k$-линейный функционал на$T_{x}M$.

Через локальные карты

$k$-формойна$\mathbb {R} ^{n}$будем называть выражение следующего вида

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

где$f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}$— гладкие функции,$dx^{i}$—дифференциал$i$-ой координаты$x^{i}$(функция от вектора, возвращающая его координату с номером$i$), а$\wedge$—внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см.многообразие).

Связанные определения

• Для$k$-формы

  $\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\dots,x^{n})dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

еёвнешний дифференциал(также простодифференциал) — это$(k+1)$-форма,в координатахимеющая вид

$d\omega =\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

• дляинвариантного определения дифференциаланужно определить дифференциал функций, то есть$0$-форм, затем дифференциал$1$-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по$R$-линейности иградуированному правилу Лейбница:
  • $dF(v)=v(F)$— значение дифференциала функции на касательном векторном поле естьпроизводная функции вдоль поля.
  • $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$— значение дифференциала$1$-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы накоммутаторе.
  • $\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\vartheta ^{p})$— где верхние индексы$k$и$p$обозначают порядки соответствующих форм.
• Дифференциальная форма называетсязамкнутой,если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называетсяточной,если её можно представить как дифференциал некоторой$(k-1)$-формы.
• Факторгруппа$H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}$замкнутыхk-форм по точнымk-формам называется$k$-мерной группой когомологий де Рама.Теорема де Рамаутверждает, что она изоморфнаk-мерной группесингулярных когомологий.
• Внутренней производнойформы$\omega$степени$n$по векторному полю$\mathbf {v}$(такжеподстановкойвекторного поля в форму) называется форма

  $i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots,u_{n-1})=\omega (\mathbf {v},u_{1},\dots,u_{n-1})$

Свойства

• Для любой формы справедливо$d(d\omega )=0$.

• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированномуправилу Лейбница:

  $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})$

• Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

• Формулы Картана.Для произвольной формы$\omega$и векторных полей$X,Y,Z$выполняются следующие соотношения

  ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega,$

  ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega,$(волшебная формула Картана)

  ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega,$

  ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega,$

  $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

где${\mathcal {L}}$обозначаетпроизводную Ли.

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, какковекторное поле,то есть 1 раз ковариантныйтензор,заданный в каждой точке$p$многообразия$M$и отображающий элементыкасательного пространства$T_{p}(M)$в множество вещественных чисел$\mathbb {R}$:

  $\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R}$

• Форма объёма— пример$n$-формы на$n$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма— замкнутая 2-форма$\omega$на$2n$-многообразии, такая что$\omega ^{n}\not =0$.

Применения

Векторный анализ

Основная статья:Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть$I$—канонический изоморфизммеждукасательнымикокасательным пространствами,а$*$—оператор дуальности Ходжа(который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогдароторидивергенциюможно определить следующим способом:

$\operatorname {rot} \,v=*\,d\,I(v)$

$\operatorname {div} \,v=*^{-1}d\,*(v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Основная статья:Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим2-форму Фарадея,соответствующуютензору электромагнитного поля:

${\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.$

Эта форма являетсяформой кривизнытривиального главногорасслоениясо структурной группойU(1),с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика икалибровочная теория.3-форма тока,дуальнаяобычному 4-вектору тока, имеет вид

${\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.$

В этих обозначенияхуравнения Максвелламогут быть очень компактно записаны как

$\mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}$

$\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}$

где$*$— операторзвезды Ходжа.Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма$*\mathbf {F}$также называется2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья:Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотримсимплектическое многообразие$M$с заданными на нём симплектической формой$\omega$и функцией$H$,называемойфункцией Гамильтона.$\omega$задаёт в каждой точке$X\in M$изоморфизм$I$кокасательного$T_{X}^{*}M$икасательного$T_{X}M$пространств по правилу

$dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M$,

где$dH$—дифференциалфункции$H$.Векторное поле$IdH$на многообразии называетсягамильтоновым полем,а соответствующий емуфазовый поток—гамильтоновым потоком.Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую еёвнешнюю степень.Отсюда следуеттеорема Лиувилля.Скобка Пуассонафункций$F$и$G$на$M$определяется по правилу

$[F,G]=\omega (IdF,IdG)$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями ввекторных расслоениях.В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от$k$векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешниеk-формы на$M$со значениями в векторном расслоении$\pi \colon E\to M$определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм —тангенциальнозначные формы,в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение$TM$.

Литература

• Арнольд В. И.Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. —М.:Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. —1500 экз.—ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К.Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. —М.:Мир, 1973.
• Дубровин Б. А.,Новиков С. П.,Фоменко А. Т.Современная геометрия. Методы и приложения. —М.:Наука, 1971.
• Картан А.Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. —М.:Мир, 1971.
• Постников М. М.Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. —М.:Наука, 1987.
• Булдырев В. С.,Павлов Б. С.Линейная алгебра и функции многих переменных. —Л.:Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса