Квантиль

Кванти́львматематической статистике— значение, которое заданнаяслучайная величинане превышает с фиксированнойвероятностью.Если вероятность задана впроцентах,то квантиль называетсяпроцентилемилиперцентилем(см.ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг»означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

Определение

Рассмотримвероятностное пространство$(\Omega,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$и$\mathbb {P} ^{X}$—вероятностная мера,задающаяраспределениенекоторойслучайной величины$X$.Пусть фиксировано$\alpha \in (0,\;1)$.Тогда$\alpha$-квантилем (или квантилью уровня (порядка)$\alpha$) распределения$\mathbb {P} ^{X}$называетсячисло$x_{\alpha }\in \mathbb {R}$такое, что

$\mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha,$

$\mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha.$

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе)$k$-м$q$-квантилем называется квантиль уровня$k/q$,то есть$(k/q)$-квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания

• Еслираспределениенепрерывно, то$\alpha$-квантиль однозначно задаётсяуравнением

$F_{X}(x_{\alpha })=\alpha,$

где$F_{X}$—функция распределения$\mathbb {P} ^{X}$.

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построениидоверительных интерваловравенство:

$\mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha.$

• Дляэмпирического распределения$\alpha$-квантиль можно задать следующим способом:

1. составляем вариационный ряд значений$V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{N-1}$(выборка имеет объём$N$), а также считаем, что$V_{N}=V_{N-1}$(это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
2. находим величину$K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor$;
3. сравниваем$K$и$\alpha \cdot N$:

a) если$K+1<\alpha N$,то полагаем$x_{\alpha }=V_{K+1}$;

б) если$K+1=\alpha N$,то полагаем$x_{\alpha }=(V_{K}+V_{K+1})/2$;

в) если$K+1>\alpha N$,то полагаем$x_{\alpha }=V_{K}$.

Заданный таким образом$\alpha$-квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства$K+1=\alpha N$можно использовать приближённое сравнение$|K+1-\alpha N|<1/N$(это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квантили

Квантили нормального распределения

Основная статья:Медиана (статистика)

• 0,25-квантиль называетсяпервым (или нижним) кварти́лем(отлат.quarta— четверть);
• 0,5-квантиль называетсямедианой(отлат.mediāna— середина) иливторым кварти́лем;
• 0,75-квантиль называетсятретьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом(англ.Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть$x_{0{,}75}-x_{0{,}25}$.Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и являетсяробастныманалогомдисперсии.Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместоматематического ожиданияи дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль

Деци́льхарактеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение.

Процентиль

$p$-мпроценти́лемназывают квантиль уровня$\alpha =p/100$.Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третийквартиль— 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называютсяперцентилямиилицентилями.

Квантили стандартного нормального распределения

Вероятность (уровень квантили), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль (округлённый до тысячных)	3,719	3,09	2,326	1,999	1,96	1,645	1,282	1	0

См. также

• Квантили распределения Стьюдента
• Квантили распределения хи-квадрат
• Нормальное распределение
• Доверительный интервал
• Наукометрия