Чётные и нечётные числа

Чётностьвтеории чисел— характеристикацелого числа,определяющая его способностьделиться нацелонадва.

Определения

• Чётное число—целое число,котороеделитсяна2без остатка:…, −4, −2,0,2, 4, 6, 8,…

• Нечётное число— целое число, котороене делитсяна2безостатка:…, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9,…

Еслиmчётно, то оно представимо в виде$m=2k$,а если нечётно, то в виде$m=2k+1$,где$k\in \mathbb {Z}$.

С точки зрениятеории сравнений,чётныеинечётныечисла — это элементы соответственноклассов вычетов[0] и [1] по модулю 2.

Арифметика

• Сложение и вычитание:
  • Чётное ±Чётное =Чётное
  • Чётное ±Нечётное =Нечётное
  • Нечётное ±Нечётное =Чётное

• Умножение:
  • Чётное ×Чётное =Чётное
  • Чётное ×Нечётное =Чётное
  • Нечётное ×Нечётное =Нечётное

• Деление:
  • Чётное /Чётное: однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное /Нечётное: если результат — целое число, то оноЧётное
  • Нечётное /Чётное: результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное /Нечётное: если результат — целое число, то оноНечётное

Признак чётности

В десятичной системе счисления

Если в десятичной форме записи числапоследняя цифраявляется чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42,104,11110,9115817342— чётные числа.

31,75,703,78527,2356895125— нечётные числа.

В других системах счисления

Для всехсистем счисленияс чётным основанием(например, дляшестнадцатеричной), действует тот жепризнак чётности:число делится на 2, если егопоследняя цифраделится на 2. Для систем счисленияс нечётным основаниемсуществует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётнасумма его цифр.Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной.

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян».

В разных странах существуют связанные с количеством даримыхцветовтрадиции. Например вСША,Европеи некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приноситсчастье.ВРоссиии странахСНГчётное количество цветов принято приносить лишь напохороныумершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множествобутонов,у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Практика

• СогласноПравилам дорожного движенияв зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками3.29, 3.30.
• Ввысших учебных заведенияхсо сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели (могут называться также первыми и вторыми, верхними и нижними). Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки на студентов, преподавателей, по аудиториям, учебным корпусам. Дисциплины небольшого объёма ставятся в расписание 1 раз в 2 недели, в результате чего преподавателей и студентов не возникает чрезмерной нагрузки в начале семестра и резкого падения ее - в конце: количество учебных часов в неделю остается примерно одинаковым на протяжении всегосеместра.
• Четность/нечётность чисел широко применяется нажелезнодорожном транспорте:
  • При движении поезда ему присваивается маршрутный номер, который может быть чётным или нечётным в зависимости от направления движения (прямое или обратное). Например,поезд «Россия»при следовании изВладивостокавМосквуимеет номер 001, а из Москвы во Владивосток — 002;
  • Чётностью/нечётностью на сленге железнодорожников обозначается направление, в котором проходит поезд через станцию (пример объявления «По третьему пути пройдёт нечётный поезд»);
  • Места в плацкартных и купейных вагонах всегда распределяются: чётные — верхние, нечётные — нижние.
  • С чётными и нечётными числами месяца долгое время были увязаны графики движения пассажирских поездов, следующих через один день. При совпадении двух подряд нечётных чисел (с 29 или 31 на 1 число) поезда могли назначаться не через день, а через два дня (если он отправляется по чётным) или на следующий день. Но такая практика была неудобна для железнодорожников, и с распространениеминтернетаи продаж билетов онлайн от поддержания таких графиков постепенно отказались: пассажиры знают, что поезда отправляются через день, а конкретную дату всегда можно уточнить в интернете. После каждого месяца с нечётным количеством дней графики движения смещаются с чётных чисел на нечётные и наоборот.

См. также

• Чётность нуля

Литература

• Медников Л. Э.Чётность(рус.).— 4-е изд. —М.:МЦНМО,2013. —ISBN 978-5-4439-0078-0.
• Перельман Я. И.Чёт или нечет?// Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. —М.:Детгиз,1954. — С. 66—68.

Ссылки

• ПоследовательностьA005408вOEIS:нечётные числа
• ПоследовательностьA005843вOEIS:чётные числа
• ПоследовательностьA179082вOEIS:чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи