Принцип наименьшего принуждения

При́нцип наименьшего принуждения,илипри́нцип Га́усса,состоит в том, чтов каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.

Принцип наименьшего принужденияотносится к числу дифференциальныхвариационных принципов механикии предложенК. Ф. Гауссомв 1829 г. в работе«Об одном новом общем законе механики».Принцип применим к механическим системам сидеальными связямии сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной».

Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имелаработаГ. Шеффлера(1820—1903)«О Гауссовом основном законе механики»,опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределилпринуждение как следующее (в современных обозначениях) выражение:

$Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {i=1}{\sum }}}}\,m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)^{2}$,

где$N$— число точек, входящих в систему,$m_{i}$— масса$i$-й точки,$\mathbf {F} _{i}$— равнодействующая приложенных к ней активных сил,$\mathbf {w} _{i}$— ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции$Z$.

Обоснование

Рис.1

Пусть точкамеханической системыс массой$m_{i}$в момент времени$t_{0}$находится в положении$M_{i}$.При свободном движении точка за очень малый промежуток$\tau$пройдёт расстояние${\overline {M_{i}A_{i}}}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau$(рис.1), где$\mathbf {v} _{i}$— скорость точки в момент времени$t_{0}$.Если же на точку будет действовать активная сила$\mathbf {F} _{i}$,точка под воздействием этой силы совершит перемещение${\overline {M_{i}B_{i}}}$.Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:

$\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^{2}+...$

Но

${\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v},\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}$

Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:

${\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}$

Если же на точку наложитьсвязи,то её перемещение по действием силы$\mathbf {F} _{i}$и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:

${\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}$,

где$\mathbf {w} _{i}$— ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором${\overline {B_{i}C_{i}}}$.Очевидно, что

${\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)$

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения${\overline {B_{i}C_{i}}}$,которую и назвалпринуждением.Принуждение для точки с массой$m_{i}$имеет следующее выражение:

$Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)^{2}$

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

$Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {i=1}{\sum }}}}\,m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\right)^{2}$

Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении

$\delta \,Z\;=\;0$

причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называютгауссовой вариацией.

Значение принципа Гаусса

Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механикМ. В. Остроградский,который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г.«О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям»Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениями.В 1878 г.И. И. Рахманиновпридалпринципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его какпринцип наименьшей потерянной работы.

Французский математикЖ. Бертранохарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано».

Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: кконсервативными неконсервативным, кголономными неголономным. Поэтому, в частности, он часто используетсяв качестве исходного пункта при выводе уравнений движениянеголономных систем.Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных скомпьютерным моделированиемдинамики систем твёрдых тел (в частности,манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методамиматематического программирования.

Принцип Гаусса обобщённа случай освобождения системы от части связей,а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред.

См. также

• Болотов, Евгений Александрович

Литература

• Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред.Л. С. Полака.—М.:Физматгиз,1959. — 932 с.
• Ланцош К.Вариационные принципы механики.—М.:Мир,1965. — 408 с.
• Маркеев А. П.О принципе Гаусса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 23. —М.:Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 264 с.— С. 29—45.
• Маркеев А. П.Теоретическая механика. —М.:Наука,1990. — 416 с. —ISBN 5-02-014016-3.
• Моисеев Н. Д.Очерки истории развития механики. —М.:Изд-во Моск. ун-та, 1961. — 478 с.
• Погребысский И. Б.От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. —М.:Наука,1964. — 327 с.
• Тюлина И. А.История и методология механики. —М.:Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
• Цыганова Н. Я.Основные этапы развития принципа наименьшего принуждения // История и методология естественных наук. —М.:МГУ, 1979. —Вып. 9.—С. 122—134.