Ротор (дифференциальный оператор)

Ро́тор,рота́цияиливихрь—векторныйдифференциальный операторнадвекторным полем.

Обозначается разными способами:

• $\operatorname {rot}$(наиболее распространено в русскоязычнойлитературе),
• $\operatorname {curl}$(в англоязычной литературе, предложеноМаксвеллом),
• $\mathbf {\nabla } \times$— как дифференциальныйоператор набла,векторно умножаемыйна векторное поле, то есть для векторного поля$\mathbf {F}$результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будетвекторным произведениемоператора набла и этого поля:$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$.

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле$\mathbf {F}$называетсяротором поля$\mathbf {F}$или просторотором$\mathbf {F}$и представляет собой новое векторноеполе:

$\operatorname {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Поле$\operatorname {rot} \mathbf {F}$(длина и направление вектора$\operatorname {rot} \mathbf {F}$в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля$\mathbf {F}$в соответствующих точках.

Определение

Ротор$\operatorname {rot} \mathbf {a}$векторного поля$\mathbf {a}$— есть вектор, проекция которого$\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$на каждое направление$\mathbf {n}$есть предел отношенияциркуляции векторного поляпо контуру$L$,являющемуся краем плоской площадки$\Delta S$,перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

$\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{S}}$.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении$\mathbf {n}$,контур$L$обходился по часовой стрелке.

Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности —см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

$\operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}$,

что может быть записано в конкретных координатах как это показанониже.

Иногда можно встретиться с таким альтернативнымопределением

$\operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[d\mathbf {S} \times \mathbf {a} ]}{V}}$,

где$O$— точка, в которой определяется ротор поля$\mathbf {a}$,

$S$— какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку$O$внутри и в пределе стягивающаяся к ней,

$d\mathbf {S}$— вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,

знаком$\times$обозначено векторное произведение,

$V$— объём внутри поверхности$S$.

Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ

Если$\mathbf {v} (x,y,z)$— поле скорости движения газа (или течения жидкости), то$\operatorname {rot} \mathbf {v}$— вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно$\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$,где${\boldsymbol {\omega }}$— эта угловая скорость.

• Простую иллюстрацию этого факта —см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение черезциркуляцию,данноевыше,можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь$\mathbf {F}$— обозначено векторное поле с декартовыми компонентами$(F_{x},F_{y},F_{z})$,а$\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$—ортыдекартовых координат):

$\operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})={}$

$=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv$

$\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}$,

или

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}$

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}$

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}$

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор каквекторное произведениеоператора набла(слева) и векторного поля:

$\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\\partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$

(последнее равенство формально представляет векторное произведение какопределитель).

Формула ротора в криволинейных координатах

Основная статья:Оператор набла в различных системах координат

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованиемтензора Леви-Чивиты(используя верхние и нижние индексы иправило суммирования Эйнштейна):

$(\operatorname {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k}$,

где$\varepsilon _{ijk}$— координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель${\sqrt {g}}$,$g^{jm}$—метрический тензорв представлении с верхними индексами, $g\equiv \det(g_{rs})$,а$\nabla _{m}v^{k}$—ковариантные производныеотконтравариантных координатвектора$\mathbf {v}$.

Это выражение может быть также переписано в виде:

$(\operatorname {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k}$.

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=$

${}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +$

${}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +$

${}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}$

${}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1})&\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1}}}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2}}}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3}}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}$,

где$H_{i}$—коэффициенты Ламе.

Обобщения

• Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричноетензорноеполе валентности два, компоненты которого равны:

$(\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}$

Эта же формула может быть записана черезвнешнее произведениес оператором набла:

$\operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}$

• Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула спсевдоскалярным произведением(такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).

• Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами$x$и$y$) введена структура комплексного пространства (с координатой$z=x+iy$) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции$f(z)$,тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной

${\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{\frac {\partial {}}{\partial y}}\right)$

ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:

$\operatorname {rot} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z}}$,

$\operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z}}$.

Основные свойства

• Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей$\mathbf {F}$и$\mathbf {G}$и для любых чисел (констант)$a$и$b$

$\operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {rot} \mathbf {F} +b\operatorname {rot} \mathbf {G}$.

• Если$\varphi$— скалярное поле (функция), а$\mathbf {F}$— векторное, тогда:

$\operatorname {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F}$,

$\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )$.

• Если поле$\mathbf {F}$потенциально,его ротор равен нулю (поле$\mathbf {F}$— безвихревое):

$\mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \implies \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$.

• Обратное верно локально:если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле$\varphi$,что$\mathbf {F}$будет его градиентом):

$\operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi$

Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).

• Дивергенцияротора равна нулю (поле ротора бездивергентно):

$\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0$,

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0$.

• Обратное свойство также выполняется локально — если поле$\mathbf {F}$бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля$\mathbf {G}$,называемого еговекторным потенциалом:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatorname {rot} \mathbf {G}$.

• Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatorname {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {G}$

Таким образом, если$F$и$G$— безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если$\mathbf {F} =\nabla f$,а$\mathbf {G} =\nabla g$,легко найти векторный потенциал для$\mathbf {F} \times \mathbf {G}$:

$\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatorname {rot} (f\nabla g)$.

Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.

• Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

$\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}$.

• Ротор векторного произведения полей равен:

$\operatorname {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}$.

Физическая интерпретация

При движениисплошной средыраспределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши — Гельмгольца:

$\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\mathbf {r} )$,

где${\boldsymbol {\omega }}$— вектор углового вращения элемента среды в точке$O$,а$\varphi$—квадратичная формаот координат — потенциалдеформацииэлемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки$O$складывается из поступательного движения (вектор$\mathbf {v} _{O}$), вращательного движения (вектор${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$) и потенциального движения — деформации (вектор$\nabla \varphi$). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке$O$справедливо равенство$\operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$,и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Формула Кельвина — Стокса

Циркуляциявектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равнапотокуротора этого вектора через эту поверхность:

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \mathbf {dS}$

Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержаниетеоремы Грина.

Примеры

• В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение$\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}.$

Простой пример

Рассмотримвекторное поле$\mathbf {F}$,зависящее от координат$x$и$y$так:

$\mathbf {F} (x,y)=y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y}$.

• В отношении этого примера нетрудно заметить, что$\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$,где$\mathbf {r}$— радиус-вектор, а${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$,то есть поле$\mathbf {F}$можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси$z$(то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси$z$). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно,правило правой руки или правого винта).
• $z$-компоненту поля$\mathbf {F}$будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от$z$) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]\mathbf {e} _{z}=-2\mathbf {e} _{z}$

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси$z$.В данном случае ротор оказался константой, то есть поле$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

• угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно$\operatorname {rot} \mathbf {F} /2$,точно совпала с тем, что указано в параграфеФизическая интерпретация,то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта.(Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора$\mathbf {F}$поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

$\mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}$.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке$x=4$,чем в точке$x=3$.Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении$-z$.Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении$+z$.Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}$

Действительно, ввинчивание происходит в направлении$+z$для отрицательных$x$и$-z$для положительных$x$,как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор$\mathbf {F}$с плоскостью$x=0$,выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от$y$или$z$(как и должно быть) и направлен по$-z$для положительных$x$и в направлении$+z$для отрицательных$x$.

Поясняющие примеры

• Всмерчеветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см.Вихревое движение). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значениесм. ниже).
• Для векторного поля$\mathbf {v}$скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела,$\operatorname {rot} \mathbf {v}$одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея,одно изуравнений Максвелла,просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
• Четвёртое уравнение Максвелла —закон Ампера — Максвелла— также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностейтокаобычного итока смещения.

Важный контринтуитивный пример

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривлениявекторных линийвекторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости$\mathbf {v}$определено формулой:

$\mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x}$,

$\operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z}$.

Если$f'(y)>0$,течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси$z$—противчасовой стрелки), однако если$f'(y)<0$и$f(y)$— убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый её маленький объём — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

См. также

• Ротор векторного поля. Теорема Стокса.наYouTube
• Вычисление ротора векторного поля.наYouTube
• Векторный анализ
• Теорема Грина
• Формулы векторного анализа