Треугольник Паскаля

Первые 15 строк треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля(арифметический треугольник) — бесконечная таблицабиномиальных коэффициентов,имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоятединицы.Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математикаБлеза Паскаля,хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики висламском мире,Индии,Китае, Германии и Италии.Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом валгебре,комбинаторике,теории вероятностей,математическом анализе,теории чисел.

История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времен Паскаля. Персидский математикАль-Караджи(953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля.Позднее треугольник также исследовалсяОмаром Хайямомоколо 1100 года, поэтому в Иране эту схему называюттреугольником Хайяма(перс.مثلث خیام‎). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названиемmeru-prastaaraвстречается также в комментарии индийского математикаX векаХалаюдхик трудам другого математика,Пингалы.В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математикаЧжу Шицзе,в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик,Ян Хуэй,поэтому в Китае его называюттреугольником Яна Хуэя(кит.Dương huy tam giác; dương huy tam giác).

В Италии треугольник Паскаля иногда называюттреугольником Тартальи,посколькуНикколо Тартальяописал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 годуПетером Апианом,астрономом изИнгольштадтского университета,также изображён треугольник Паскаля. А в1665 годувышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»,которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь ПаскаляПьером Раймоном де Монмором(1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» (фр.table de M. Pascal pour les combinaisons), иАбрахамом де Муавром(1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» (лат.Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM), что стало основой современного западного названия.

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициентычасто обозначаются${\binom {n}{k}}$или$C_{n}^{k}$и читаются как «число сочетаний изnэлементов поk».

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номеромn(нумерация начинается с 0):
  • первое и последнее числа равны 1;
  • второе и предпоследнее числа равныn;
  • третье число равнотреугольному числу$T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}$,что также равно сумме номеров предшествующих строк;
  • четвёртое число являетсятетраэдрическим;
  • m-е число (при нумерации с 0) равнобиномиальному коэффициенту$C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$.
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n− 1)-й строки, естьn-ечисло Фибоначчи:

  ${\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получитсячисло Каталана.
• Сумма чиселn-й строки треугольника Паскаля равна$2^{n}$.
• Все числа вn-й строке, кроме единиц, делятся на числоnтогда и только тогда, когдаnявляетсяпростым числом(следствиетеоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n,3n+ 1, 3n+ 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.Мартин Гарднер

См. также

• Треугольник Серпинского
• Гипотеза Сингмастера
• Треугольник Хосойя

Литература

• Паскаля треугольник//Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. —М.:Педагогика,1985. — С.230-232. — 352 с.
• Фукс Д., Фукс М.Арифметика биномиальных коэффициентов//Квант.— 1970. —№ 6.—С. 17—25.
• Успенский В. А.Треугольник Паскаля.—М.:Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). —200 000 экз.

Ссылки

• Weisstein, Eric W.Pascal's Triangle(англ.)на сайте WolframMathWorld.
• Построение треугольника Паскаля