Формализм (математика)

Эта статья — о течении в философии математики. Другие значения термина «формализм» см. насоответствующей странице.

Формализм— один из подходов кфилософии математики,пытающийся свести проблемуоснований математикик изучениюформальных систем.Наряду слогицизмомиинтуиционизмомсчитался в XX веке одним из направленийфундаментализмав философии математики.

История

Давид Гильберт

Формализм возник в началеXX векав математической школеГильбертав рамках попытки свести в единую систему строгие обоснования различных областей математики. Развивался сотрудниками (учениками) ГильбертаАккерманом,П. Бернайсом,фон Нейманом.

В отличие от логицизма, формализм не претендовал на построениеединойдля всей математики формальной теории, наподобиетеории множествилитеории типов. В отличие от интуиционизма, формализм не отказывался от построения теорий с «сомнительными» с точки зрения интуиции основаниями, лишь бы в них правилавыводатеорем были строго обоснованы. Формалисты полагали, что математика должна изучать как можно больше формальных систем.

Критика

Формально-аксиоматические теории, построенные на основеклассической логики,имеет смысл рассматривать лишь при отсутствии в нихпротиворечий,поскольку в противном случае «доказанным» оказываетсялюбоесуждение теории. Если в такой формальной системе удаётся доказать логическуюложь,то она находится противоречивой и «выбраковывается», что обесценивает любые доказанные в рамках данной системы теоремы. Разумеется, математиков волновал вопрос, можно ли каким-то образом доказатьнепротиворечивостьтеории. К досаде формалистов, было показано, что вопрос о противоречивости теориине имеет адекватного разрешения внутри любой из употребительных в математике формальных систем.

Ничто не мешает изучать одну формальную теорию при помощи другой; такой подход называетсяметаматематическим. Однако, он вынуждает использовать для построения метатеорий наиболее надёжные основания, каковыми формалисты рассматривали, опять-таки, классическую логику иформальную арифметику.

Современное состояние

С начала90-х годов XX векаинтерес к формализму (в более прикладном смысле) снова возрос в связи с задачамиавтоматического доказательства теорем(см. напр.манифест QED).

Ссылки

• Н. Н. Непейвода.Формализм//Новая философская энциклопедия:в 4 т./ пред. науч.-ред. советаВ. С. Стёпин.— 2-е изд., испр. и доп. —М.:Мысль,2010. — 2816 с.