Кардинальный синус

Графики нормированной и ненормированной функцийsinc(x)в диапазоне−7π≤x≤ 7π.

Кардина́льный си́нус,sinc(отлат.sinus cardinalis) —математическая функция.Обозначаетсяsinc(x).Имеет два определения — длянормированнойиненормированнойфункцииsincсоответственно:

1. Вцифровой обработке сигналовитеории связинормированнаяфункцияsincобычно определяется как

   $\operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.$

2. Вматематикененормированнаяфункцияsincопределяется как

   $\operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.$

Нормировка функции выполняется из условия:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax}}\,dx=1$

откуда$a=\pi.$

для ненормированной функции ($a=1$):

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi.$

В обоих случаях значение функции в особой точкеx= 0явным образом задаётся равным единице (см.Замечательные пределы). Таким образом, функцияsincаналитичнадля любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функцияsincобладает следующими свойствами:

• $\operatorname {sinc} \left(0\right)=1$и$\operatorname {sinc} \left(k\right)=0$для всех$k\neq 0$и$k\in \mathbb {Z}$(целые числа); то есть этоинтерполянт.

• функции$x_{k}\left(t\right)=\operatorname {sinc} \left(t-k\right)$формируютортонормированный базисдля функций вфункциональном пространстве$L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$,с наибольшейкруговой частотой$\omega _{H}=\pi$.

• Локальные максимум и минимум ненормированной функцииsincнаходятся в точках, где значения функцииsincсовпадают со значениями косинусоиды (точках пересечения графиковsincиcos) - условие равенства нулю производной${\frac {\sin x}{x}}$(локальныйэкстремумв точке$x=a$) выполняется при условии${\frac {\sin a}{a}}=\cos a$.

• Ненормированная функцияsincобращается в ноль при значениях аргумента, кратныхπ,а нормированная функцияsinc— при целых значениях аргумента.

• Интегральный синусопределяется через интеграл от функцииsinc(x).

• Непрерывноепреобразование Фурьенормированной функции$\operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}$(для единичного интервала частот) равнопрямоугольной функции$\operatorname {rect} \left(f\right)$.

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} \left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt=\operatorname {rect} \left(f\right)$,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

• Разложение вбесконечное произведение:

$\operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

• Выражение черезгамма-функцию:

$\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma \left(1+x\right)\Gamma \left(1-x\right)}}$

где$\Gamma \left(x\right)$— гамма-функция.

Использование и приложения

• Какпреобразование Фурьепрямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера,дифракция на щели). sinc-функция встречается в теорииантенн,радаров,вакустикеи т. д.
• Э. Т. Уиттекерпоказал, что sinc-функция играет центральную роль в теорииинтерполяциина сетке эквидистантных точек.
• В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановитьаналоговый сигналпо его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
• Та же идея лежит в основефильтра Ланцоша,применяемого, в частности, дляпередискретизациисигналов.
• Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательнымбоковым лепесткам диаграммы направленности.
• Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала,амплитудакоторого описывается sinc-функцией.
• Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют влогарифмическом масштабе.

Обработка сигналов

sinc-фильтр— идеальныйэлектронный фильтр,который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторойчастоты среза,оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собойпрямоугольную функцию,а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также

• Сглаживание
• sinc-фильтр
• Атомарная функция
• Интегральный синус