ISO 31-11

Эта страница или раздел содержит специальные символыUnicode.
Если у вас отсутствуютнеобходимые шрифты,некоторые символы могут отображаться неправильно.

ISO 31-11:1992— частьмеждународного стандартаISO 31,которая определяет «математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (англ.mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандартISO 80000-2(последняя редакция:ISO 80000-2:2019, 2nd edition).

Математические символы

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта.

Математическая логика

Обозна- чение	Употребление	Название	Смысл и пояснения	Комментарии
∧	p∧q	конъюнкция	pиq
∨	p∨q	дизъюнкция	pилиq(возможно, оба)
¬	¬p	отрицание	неверноp;не-p
⇒	p⇒q	импликация	еслиp,тоq;изpследуетq	Иногда записывается в видеp→qилиq⇐p.
∀	∀x∈Ap(x) (∀x∈A)p(x)	квантор общности	для каждогоxиз множестваAверно утверждениеp(x)	Для краткости уточнение "∈A"часто опускают, если оно ясно из контекста.
∃	∃x∈Ap(x) (∃x∈A)p(x)	квантор существования	существуетxиз множестваA,для которого утверждениеp(x) верно	Для краткости уточнение "∈A"часто опускают, если оно ясно из контекста. Вариант ∃! означает, что такоеxединственно во множествеA.

Теория множеств

Обозна- чение	Употребление	Смысл и пояснения	Комментарии
∈	x∈A	xпринадлежитA;xявляется элементом множестваA
∉	x∉A	xне принадлежитA;xне является элементом множестваA	Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
∋	A∋x	МножествоAсодержит элементx	равносильноx∈A
∌	A∌x	МножествоAне содержит элементаx	равносильноx∉A
{ }	{x1,x2,..., xn}	множество, образованное элементами x1,x2,..., xn	также {xi∣i∈I}, гдеIобозначает множество индексов
{ ∣ }	{x∈A∣p(x)}	множество таких элементовA,для которых утверждениеp(x) верно	Пример: {x∈ ℝ ∣x> 5} Для краткости уточнение "∈A"часто опускают, если оно ясно из контекста.
card	card(A)	кардинальное числоэлементов множестваA;мощностьA
∖	A∖B	разность множествAиB;AминусB	Множество элементов изA,которых нет вB. A∖B= {x∣x∈A∧x∉B} Не следует записывать в видеA−B.
∅		пустое множество
ℕ		множествонатуральных чисел,включаяноль	ℕ = {0, 1, 2, 3,...} Если ноль исключён, надо пометить символзвёздочкой: ℕ*= {1, 2, 3,...} Конечное подмножество: ℕk= {0, 1, 2, 3,...,k− 1}
ℤ		множествоцелых чисел	ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} Целые ненулевые обозначаются ℤ*= ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...}
ℚ		множестворациональных чисел	ℚ*= ℚ ∖ {0}
ℝ		множествовещественных чисел	ℝ*= ℝ ∖ {0}
ℂ		множествокомплексных чисел	ℂ*= ℂ ∖ {0}
[,]	[a,b]	замкнутый интервал в ℝ отa(включая) доb(включая)	[a,b] = {x∈ ℝ ∣a≤x≤b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	полуоткрытый слева интервал в ℝ отa(исключая) доb(включая)	]a,b] = {x∈ ℝ ∣a<x≤b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	полуоткрытый справа интервал в ℝ отa(включая) доb(исключая)	[a,b[ = {x∈ ℝ ∣a≤x<b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	открытый интервал в ℝ отa(исключая) доb(исключая)	]a,b[ = {x∈ ℝ ∣a<x<b}
⊆	B⊆A	Bсодержится вA;Bесть подмножествоA	Каждый элементBпринадлежитA.Вариант символа: ⊂.
⊂	B⊂A	Bсодержится вAкаксобственное подмножество	Каждый элементBпринадлежитA,ноBне равенA.Если ⊂ обозначает "содержится", то ⊊ должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество".
⊈	C⊈A	Cне содержится вA;Cне является подмножествомA	Вариант:C⊄A
⊇	A⊇B	AсодержитB(как подмножество)	Aсодержит все элементыB.Вариант: ⊃.B⊆AравносильноA⊇B.
⊃	A⊃B.	AсодержитBкаксобственное подмножество.	Aсодержит все элементыB,ноAне равноB.Если используется символ ⊃, то ⊋ должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество".
⊉	A⊉C	Aне содержитC(как подмножество)	Вариант: ⊅.A⊉CравносильноC⊈A.
∪	A∪B	объединениеAиB	Множество элементов, принадлежащих либоA,либоB,либо обоимAиB. A∪B= {x∣x∈A∨x∈B}
⋃	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$	объединение семейства множеств	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$,множество элементов, принадлежащих хотя бы одному изA1,...,An.Варианты:$\bigcup {}_{i=1}^{n}$и$\bigcup _{i\in I}$,$\bigcup {}_{i\in I}$,гдеI— множество индексов.
∩	A∩B	пересечениеAиB	Множество элементов, принадлежащих какA,так иB. A∩B= {x∣x∈A∧x∈B}
⋂	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$	пересечение семейства множеств	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$,множество элементов, принадлежащих каждомуA1,...,An.Варианты:$\bigcap {}_{i=1}^{n}$и$\bigcap _{i\in I}$,$\bigcap {}_{i\in I}$,гдеI— множество индексов.
∁	∁AB	разностьAиB	Множество тех элементовA,которых нет вB.СимволAчасто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: ∁AB=A∖B.
(,)	(a,b)	упорядоченная параa,b	(a,b) = (c,d) тогда и только тогда, когдаa=cиb=d. Вариант записи: ⟨a,b⟩.
(,...,)	(a1,a2,...,an)	упорядоченныйn-кортеж	Вариант записи: ⟨a1,a2,...,an⟩ (угловые скобки).
×	A×B	декартово произведениемножествAиB	Множество упорядоченных пар (a,b), гдеa∈Aиb∈B. A×B= { (a,b) ∣a∈A∧b∈B} A×A× ⋯ ×AобозначаетсяAn,гдеn— число сомножителей.
Δ	ΔA	множество пар (a,a) ∈A×A,гдеa∈A;то естьдиагональмножестваA×A	ΔA= { (a,a) ∣a∈A} Вариант записи: idA.

Прочие символы

Обозначение		Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
Юникод	TeX
≝	${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$	a≝b	aравноbпо определению	Вариант записи:a:=b
=	$=$	a=b	aравноb	Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
≠	$\neq$	a≠b	aне равноb	Вариант записи:$a\not \equiv b$указывает, чтоaне тождественно равноb.
≙	${\stackrel {\wedge }{=}}$	a≙b	aсоответствуетb	Пример: на карте масштаба 1:1061 см ≙ 10 км.
≈	$\approx$	a≈b	aприблизительно равноb	Символ ≃ означает "асимптотически равно".
∼ ∝	${\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}$	a∼b a∝b	aпропорциональноb
<	$<$	a<b	aменьше, чемb
>	$>$	a>b	aбольше, чемb
⩽	$\leqslant$	a⩽b	aменьше или равноb	Вариант: ≤, ≦.
⩾	$\geqslant$	a⩾b	aбольше или равноb	Вариант: ≥, ≧.
≪	$\ll$	a≪b	aнамного меньше, чемb
≫	$\gg$	a≫b	aнамного больше, чемb
∞	$\infty$		бесконечность
() [] {} ⟨⟩	${\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}$	$ac+bc$,скобки $ac+bc$,квадратные скобки $ac+bc$,фигурные скобки $ac+bc$,угловые скобки	В алгебре приоритет разных скобок$(),[],\{\},\langle \rangle$не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления$(),[],\{\},\langle \rangle$.
∥	$\|$	AB ∥ CD	прямая ABпараллельнапрямой CD
⊥	$\perp$	$\mathrm {AB\perp CD}$	прямая ABперпендикулярнапрямой CD
$\mid$	$a\mid b$	a—делительb	или, что то же,bкратноa	$\mid$

Операции

Обозначение	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
+	a+b	aплюсb
−	a−b	aминусb
±	a±b	aплюс-минусb
∓	a∓b	aминус-плюсb	−(a±b) = −a∓b
...	...	...	...
⋮

Функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
$f:D\rightarrow C$	функцияfопределена наDи принимает значения вC	Используется для явного указания областей определения и значения для функции.
$f\left(S\right)$	$\left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}$	Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножестваSобласти определения.
⋮

Показательная и логарифмическая функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
e	основаниенатуральных логарифмов	e = 2,71828...
ex	показательная функцияс основаниемe
$\log _{a}x$	логарифмс основанием$a$
lb x	двоичный логарифм(с основанием 2)	lb x =$\log _{2}x$
ln x	натуральный логарифм(с основанием e)	ln x =$\log _{e}x$
lg x	десятичный логарифм(с основанием 10)	lg x =$\log _{10}x$
...	...	...
⋮

Круговые и гиперболические функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
$\pi$	отношение длиныокружностик еёдиаметру	$\pi$= 3,14159...
...	...	...
⋮

Комплексные числа

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
i j	мнимая единица;$i^{2}=-1$	вэлектротехникевместо$i$используется символ$j$.
Rez	вещественная частьz	z=x+i y,гдеx= Rezиy= Imz
Imz	мнимая частьz
∣z∣	абсолютная величинаz;модульz	Иногда обозначается modz
argz	аргументz;фазаz	$r=e^{i\varphi }$,гдеr= ∣z∣,φ= argz,При этом Rez=rcosφ,Imz=rsinφ
z*	(комплексно-)сопряжённоекzчисло	Вариант: чёрточка надzвместо звёздочки
sgnz	sgnz	sgnz=z/ ∣z∣ = exp(iargz) дляz≠ 0, sgn 0 = 0

Матрицы

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
A	матрицаA	...
...	...	...
⋮

Системы координат

Координаты	Радиус-вектор точки	Название системы координат	Комментарии
x,y,z	$[xyz]=[xyz];$	прямоугольная система координат(декартова)	x1,x2,x3для координат иe1,e2,e3для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай.ex,ey,ezобразуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаютсяi,j,k.
ρ,φ,z	$[x,y,z]=[\rho \cos(\phi ),\rho \sin(\phi ),z]$	цилиндрическая система координат	eρ(φ),eφ(φ),ezобразуют ортогональный (правый) базис. Еслиz= 0 (двумерный случай), тоρиφ—полярные координаты.
r,θ,φ	$[x,y,z]=r[\sin(\theta )\cos(\phi ),\sin(\theta )\sin(\phi ),\cos(\theta )]$	сферическая система координат	er(θ,φ),eθ(θ,φ),eφ(φ) образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
a ${\vec {a}}$	векторa	векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой.Любой векторaможно умножить наскалярk,получая векторka.
...	...	...
⋮

Специальные функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
$J_{i}(x)$	цилиндрическиефункции Бесселя(первого рода)	...
...	...	...
⋮

Стандарт ISO 80000-2

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):

• Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
• Элементарная геометрия (Elementary geometry).
• Комбинаторика (Combinatorics).
• Преобразования (Transforms).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).

См. также

• История математических обозначений
• Математические обозначения
• Таблица математических символов

Ссылки

• ISO 80000-2:2009(неопр.).Международная организация по стандартизации.Дата обращения: 12 августа 2019.