Ravan

Ravaniliravninaje jedan od osnovnih pojmovageometrijekojim se označava ravna površina koja se u svakom smeru širi do beskonačnosti. Da je ravna, znači da kroz svaku njenutačkumože biti povučeno beskonačno mnogo različitihpravihkoje ona u potpunosti sadrži. Iz ovoga sledi i da svaka ravan prostor u kome se nalazi razgraničava na dva jednaka dela.

Deo ravni u trodimenzionom prostoru, obeležen mrežom koordinata

Pojam i definicije ravni

Presek dve ravni u R³

U početnim upoznavanjima sa pojmom ravni, predstava o ravni se upoređuje sa glatkim površinama vode, uglačane ploče, itd. U daljem izučavanju sistematskog kursa geometrije ravan se uzima kao nedefinisani termin čija se posrednadefinicijadaje uaksiomamageometrije.

Važne osobine ravni date su, na primer, sledećim aksiomama:

• Ako dve tačke prave pripadaju ravni, onda sve tačke prave pripadaju ovoj ravni.
• Tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni.

Veliki ruski matematičar N. I.Lobačevskije za definiciju ravni uzimao sledeću definiciju: Ravan jegeometrijsko mesto tačakau prostoru koje su podjednako udaljene od dve date tačke. U izgradnji geometrije Lobačevski je polazio od pojmakretanja,i prema tome, i od pojmarastojanjaizmeđu dve tačke.

Veliki nemački matematičarLajbnicdefinisao je pojam ravni kao površ koja deli prostor na dvakongruentnadela (koja se kretanjem mogu poklopiti). Međutim, ovu osobinu ima, na primer, icilindarska površčija jegeneratrisasinusoidaili pravilna beskonačnaizlomljena linijaoblika testere.

Ravan u analitičkoj geometriji

RavanAu prostoru Rⁿse analitički može opisati jednom njenomtačkom$P\in A\in R^{n}$ivektorom${\overrightarrow {a}}$koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji joj pripada. Tada će za svaku tačku$Q\in A$važiti:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {PQ}}=0$,

iliti

$\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\cdot \left(Q_{1}-P_{1},\ldots,Q_{n}-P_{n}\right)=a_{1}\cdot \left(Q_{1}-P_{1}\right)+\cdots +a_{n}\cdot \left(Q_{n}-P_{n}\right)=0$

Kako su${\overrightarrow {a}}$i P konstante, izraz se može drugačije zapisati:

${\overrightarrow {a}}\cdot \left(Q-P\right)\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {Q}}={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {P}}\Rightarrow$
${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {Q}}=C,C\in R$

ovo je takozvanavektorska jednačina ravnikoja se nakon razvoja skalarnog proizvoda, kao što je u izrazu ispod prikazano, nazivaopšta jednačina ravni:

$a_{1}\cdot Q_{1}+\cdots +a_{n}\cdot Q_{n}=C$

Ravan i drugi geometrijski objekti

Ravan i tačka

Ravan u prostoru Rⁿmože sadržati ili ne sadržati neku od tačaka istog. Algebarski, ovo se proverava tako što se koordinate tačke ubace na odgovarajuća mesta promenjivih u jednačinu ravni. Ukoliko je jednačina ravni zadovoljena, tačka pripada ravni. U suprotnom tačka ne pripada ravni.

Projekcija tačke na ravan

Ukoliko tačka ne pripada ravni, onda postoji tačno jedna prava koja prolazi kroz tu tačku, i normalna je na ravan. Ta prava seče ravan u tačno jednoj tački koja je u stvariprojekcijaprethodne tačke na datu ravan. Recimo da se ravan zoveAi da je određena tačkomPi njenim normalnim vektorom${\overrightarrow {n}}$.Neka jeQproizvoljna tačka istog prostora koja ne pripadaA.Tada za projekcijuQ'tačkeQna ravanAvaži sledeće:

$Q'\in A\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\|{\overrightarrow {n}}\Rightarrow$

$Q'=Q+\ Alpha {\overrightarrow {n}}\in A$
${\overrightarrow {PQ'}}{\overrightarrow {n}}=0$

Ovime se dobija jednačina sa nepoznatom α.

$\left(Q+\ Alpha {\overrightarrow {n}}-P\right)\cdot {\overrightarrow {n}}=0,\;\;\ Alpha ={\frac {{\overrightarrow {PQ}}{\overrightarrow {n}}}{|{\overrightarrow {n}}|^{2}}}$

Nakon što se odredi vrednost α, tačkaQ'je određena već datom jednačinom:

$Q'=Q+\ Alpha {\overrightarrow {n}}$

Rastojanje tačke i ravni

Rastojanje neketačkeod ravni u Rⁿje određeno njenim rastojanjem odnjene projekcijena istu ravan. Vidirastojanje tačaka.

Ovo rastojanje se specijalno u R³,kada su poznate trinekolinearnetačke ravniS, W, T,može izraziti i preko odnosazapremineipovršinebazeprizmekoju graderomboidodređen sa ove tri tačke sa tačkomQ:

$d\left(A\left(S,W,T\right),Q\right)={\frac {\left[{\overrightarrow {SW}},{\overrightarrow {ST}},{\overrightarrow {SQ}}\right]}{\left|{\overrightarrow {SW}}\times {\overrightarrow {ST}}\right|}}$

Ravan i prava

Ravan i prava u R³imaju tri moguća međusobna položaja: prava je paralelna sa ravni (njen vektor je normalan na normalan vektor ravni), prava seče ravan u jednoj tački, prava pripada ravni. U prostorima veće dimenzije je moguće i da prava nema zajedničkih tačaka sa ravni ali da takođe nije paralelna sa njome. Ovaj položaj se naziva mimoilaženje.

Presek ravni i prave

Pretpostavimo da se pravapodređena sa tačkom$P$i vektorom${\overrightarrow {v}}$,i ravanAodređena sa tačkom$Q$i normalnim vektorom${\overrightarrow {n}}$seku. Njihova tačka presekaLbi bila određena sa:

$L=P+\ Alpha {\overrightarrow {v}},\;L\in A$

Kada se ovako dobijeni vektor koordinata tačkeLubaci u jednačinu ravni, dobije se jednačina sa jednom nepoznatom, α. Nakon što se α odredi, treba je vratiti u gornju jednačinu. Rezultat su koordinate tačkeL.

U R³bi to izgledalo ovako:

$A:n_{1}(x_{1}-Q_{1})+n_{2}(x_{2}-Q_{2})+n_{3}(x_{3}-Q_{3})=0$
$L:(P_{1}+\ Alpha v_{1},P_{2}+\ Alpha v_{2},P_{3}+\ Alpha v_{3})$

$\Rightarrow n_{1}(P_{1}+\ Alpha v_{1}-Q_{1})+n_{2}(P_{2}+\ Alpha v_{2}-Q_{2})+n_{3}(P_{3}+\ Alpha v_{3}-Q_{3})=0$

${\overrightarrow {n}}\cdot \left({\overrightarrow {QP}}+\ Alpha {\overrightarrow {v}}\right)=0$

$\ Alpha =-{\frac {{\overrightarrow {n}}{\overrightarrow {QP}}}{{\overrightarrow {n}}{\overrightarrow {v}}}},\;L=P+\ Alpha {\overrightarrow {v}}$

Projekcija prave na ravan

Projekcija pravepna ravanAje ili jedna pravap'koja pripada ravniA,ili jedna tačkaP'na ravniA.Do drugog slučaja dolazi kada je pravapu stvari normalna na ravanA,a rezultujuća tačka je u stvari njihov presek.

Kada pravapnije normalna na ravanA,njena projekcija, pravap'se možekonstruisatikrozprojekcijedve različite tačke pravepna ravanA.

Rastojanje prave i ravni

Ukoliko pravapne seče ravanA,rastojanje između njih je jednakorastojanjuizmeđu bilo koje tačke prave i ravni.

Ravan i ravan

Dve ravni u prostoru Rⁿmogu biti mimoilazne, paralelne, mogu se seći po jednoj pravoj ili biti identične.

Presek dve ravni

Presek dve ravniAiBmože biti prazan skup (ukoliko su ravni paralelne ili mimoilazne), jedna tačka (ukoliko su ravni u principu mimoilazne ali se dodiruju u jednoj tački), jedna prava (ukoliko se ravni seku) i ravan, ukoliko su ravni identične.

Odnos dve ravni, kao i njihov presek se daju odrediti rešavanjem sistema jednačina ove dve ravni. Pretpostavimo da su zadate dve ravni$A:P,{\overrightarrow {a}}$i$B:Q,{\overrightarrow {b}}$

$A:x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots +x_{n-1}a_{n-1}+P_{n}a_{n}=K_{A},\;K_{A}\in R$
$B:x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots +x_{n-1}b_{n-1}+Q_{n}b_{n}=K_{B},\;K_{B}\in R$

Rang rešenja sistema

${\begin{cases}x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots +x_{n-1}a_{n-1}+x_{n}a_{n}=K_{A}\\x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots +x_{n-1}b_{n-1}+x_{n}b_{n}=K_{B}\end{cases}}$

određuje šta je rezultat preseka i ekvivalentan je dimenziji rezultujućeg potprostora. Samo rešenje sistema opisuje objekat dobijen presekom.

Rastojanje dve paralelne ravni

Dve ravni su paralelne ukoliko ih grade parovi vektora koji grade baze istog potprostora u datom prostoru. Ovi parovi vektora se u međusobnom odnosu još zovukoplanarni.Rastojanje dve ravni je konstantno, posmatrano iz bilo koje tačke jedne prema drugoj ravni. Stoga se može svesti narastojanjebilo koje tačke jedne ravni od druge ravni.

Rastojanje dve mimoliazne ravni

Ravni mogu biti mimoilazne u prostorima dimenzije veće od tri. Karakteristika ovako postavljenih ravni je da se ne seku po pravoj i da postoji tačno jedan par tačaka sa prve i druge ravni, za koje je rastojanje minimalno. Ukoliko se parametri ravni tako podese, da ove dve tačke imaju iste koordinate, ravni će se dodirivati samo u tim tačkama a rastojanje ove dve ravni je jednako nuli.

U opštem slučaju, rastojanje dve mimoilazne ravni se izračunava postavljanjem jednačine dužine vektora između ove dve ravni, i nalaženjem njenog minimuma diferenciranjem.

Povezano

• Tačka
• Prava
• Vektor
• Poluravan
• Hiperravan