Parcijalna integracija

Oblasti umatematičkoj analizi

Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

Ukalkulusu,i generalno, umatematičkoj analizi,parcijalna integracijaje pravilo koji transformišeintegraleproizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo prekodiferencijacijepravila derivacije proizvoda.

Pravilo

Pretpostavimo da suf(x) ig(x) dvije više puta diferencijabilnefunkcije.Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamointervalesa krajnjim tačkamaaib,dobijamo $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$ gdje koristimo standardne oznake

$\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Pravilo se dokazujepravilom derivacije proizvodaifundamentalnom teoremom kalkulusa.Zbog toga je

$f(b)g(b)-f(a)g(a)\,$	$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx$
	$=\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.$

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kodneodređenog integralau formi

$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,$

ili u kraćoj formi, ako napišemou=f(x),v=g(x) i diferencijalidu=f′(x)dxidv=g′(x)dx.Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

Primjeri

Kako bi izračunali

$\int x\cos(x)\,dx$

napišemo:

u=x,tako da jedu=dx,

dv= cos(x)dx,tako da jev= sin(x).

Zatim:

${\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C\end{aligned}}$

gdje jeCarbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

$\int x^{3}\sin(x)\,dx\quad {\mbox{and}}\quad \int x^{2}e^{x}\,dx$

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potencijuxza jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

$\int e^{x}\cos(x)\,dx$

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u= cos(x); thus du= -sin(x)dx

dv= e^xdx;thusv= e^x

Zatim:

$\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx$

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:

u= sin(x); du= cos(x)dx

v= e^x;dv= e^xdx

Zatim:

$\int e^{x}\sin(x)\,dx$

$=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx$

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

$\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx$

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

$2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}(\sin(x)+\cos(x))$

$\int e^{x}\cos(x)\,dx={e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \over 2}$

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx.Ovo pišemo kao:

$\int \ln(x)\cdot 1\,dx$

Napišimo:

u= ln(x); du= 1/xdx

v=x;dv= 1·dx

Zatim:

$\int \ln(x)\,dx$	$=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx$
	$=x\ln(x)-\int 1\,dx$

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-{x}+{C}$

$\int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C$

gdje je, ponovo, Carbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx,gdje je arctan(x)inverzna tangensna funkcija.Ovo ponov napišemo kao:

$\int \arctan(x)\cdot 1\,dx$

Napišimo:

u= arctan(x); du= 1/(1+x²) dx

v=x;dv= 1·dx

Zatim:

$\int \arctan(x)\,dx$	$=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=x\arctan(x)-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

koristeći kombinacijupravilo inverzne derivacije složene funkcijeiuslov integriranja prirodnog logaritma.

Kulturološke reference

• Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmuStand and Deliveriz1988.godine.

Vanjski linkovi

• Parcijalna integracija - sa MathWorld
• Tabularna parcijalna integracija
• Demonstrirana tabularna parcijalna integracijaArhivirano2007-03-10 naWayback Machine-u