Polinom

Umatematici,polinomjeizrazkoji je sačinjen od jedne ili višepromenljivihkonstanti,korišćenjem operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, i stepenovanja pozitivnim celim stepenima. Na primer,$x^{3}+10x+-9\,$je polinom. Treba imati u vidu da deljenje izrazom koji sadrži promenljivu u opštem slučaju nije dozvoljeno kod polinoma.

Pregled

Polinomi su sačinjeni od gradivnih elemenata koji se nazivajumonomi,a oni se sastoje od konstante (koja se nazivakoeficijentom), pomnožene jednom ili više promenljivih (koje se obično predstavljaju slovima).Svaka promenljiva može imati konstantan pozitivan ceo broj kaoeksponent.Eksponent nad promenljivom u monomu je jednakstepenute promenljive u monomu. Kako je$x=x^{1}$,stepen promenljive bez zapisanog eksponenta je jedan. Monom bez promenljivih se naziva konstantnim monomom, ili prosto konstantom. Stepen konstante je 0. Koeficijent monoma može biti bilo koji broj, uključujući razlomke, iracionalne i negativne brojeve.

Na primjer,

$-5x^{2}y\,$

je monom. Koeficijent je -5, a promenljive suxiy.Stepen promenljivexje dva, a stepen promenljiveyje jedan.

Stepen celog monoma je zbir stepeni svake promenljive u njemu. U gornjem primeru je stepen jednak 2 + 1 = 3.

Polinom predstavlja zbir jednog ili više monoma. Na primer, ovo je jedan polinom:

$3x^{2}-5x+4\,.$

Sastoji se od tri monoma: prvi je stepena dva, drugi je stepena jedan, a treći je stepena nula.

Polinom se obično zapisuje tako da monomi višeg stepena dolaze pre onih nižeg stepena. U prvom monomu, koeficijent je 3, promenljiva jex,a eksponent je dva. U drugom monomu, koeficijent je -5. Treći je konstanta.Stepenpolinoma je najveći stepen nekog njegovog monoma. Na primer, gornji polinom ima stepen dva.

Polinom stepena jedan se nazivalinearni,polinom stepena dva se nazivakvadratni,a onaj stepena tri se nazivakubni.

Polinom sačinjen od jednog monoma se i sam nazivamonom.Polinom sačinjen od dva monoma jebinom,dok je onaj sačinjen od tri monoma nazivatrinom.

Polinom čiji term najvišeg stepena ima koeficijent 1 jemoničan.

Izraz koji se može transformisati u polinom kroz niz primenakomutativnih,asocijativnih,idistributivnihzakona se obično i sam smatra polinomom.

Na primer

${\frac {x^{3}}{12}}$

se smatra polinomom, jer je ekvivalentno${\tfrac {1}{12}}x^{3}$.Koeficijent je${\tfrac {1}{12}}$.

Ali,

${1 \over x^{2}+1}\,$

nije polinom, jer uključuje deljenje promenljivom, kao što u opštem slučaju nije ni

$(5+y)^{x}\,$

jer ima promenljivu za eksponent.

Kako se oduzimanje može posmatrati kao sabiranje sabiraka suprotnog znaka, a stepenovanje konstantnim pozitivnim brojem se može posmatrati kao ponovljeno množenje, polinomi se mogu konstruisati od konstanti i promenljivih primenom samo operacija sabiranja i množenja.

Polinomijalna funkcijaje funkcija definisana vrednošću polinoma. Na primer, funkcijafdefinisana kao

$f(x)=x^{3}-x\,$

je polinomijalna funkcija. Polinomijalne funkcije su važna klasaglatkihfunkcija.Izrazglatkodolazi izmatematičke analize.Znači da je uvek moguće naći izvod polinomijalne funkcije, koliko god puta, i koliko god često.Glatka funkcijaopisuje izgled grafika polinomijalne funkcije.

Elementarna svojstva polinoma

1. Zbir dva polinoma je polinom
2. Proizvod dva polinoma je polinom
3. Izvodpolinoma je polinom
4. Primitivna funkcijapolinoma je polinom

Polinomi se koriste da aproksimiraju druge funkcije, kao što susinus,kosinus,ieksponencijalna funkcija.

Svi polinomi imaju prošireni oblik, u kome se koristidistributivni zakonda se uklone sve zagrade. Neki polinomi imaju rastavljen oblik u kome je polinom zapisan kao proizvod polinoma sa realnim koeficijentima. Na primer, polinom

$x^{2}-2x-3\,$

je jednak, i predstavlja prošireni oblik polinoma

$(x-3)(x+1)\,$,

koji je zapisan u rastavljenom obliku.

Svaki polinom jedne promenljive je ekvivalentan polinomu oblika

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$.

Ovo se nekad uzima za definiciju polinoma jedne promenljive.

Računanje vrednosti polinomase sastoji od dodeljivanja neke brojevne vrednosti svakoj promenljivoj, i izvršavanja odgovarajućih množenja i sabiranja. Ovo računanje se ponekad efikacnije sprovodi korišćenjemHornerove šeme

$((\ldots (a_{n}x+a_{n-1})x+...+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}\,$.

U elementarnojalgebri,se izučavaju metodi za rešavanje svih polinomijalnih jednačina jedne promenljive prvog i drugog stepena. Kada su u pitanju polinomijalne jednačine, promenljiva se često nazivanepoznatom.Broj rešenja polinomijalne jednačine ne može da premaši stepen polinoma, i tačno je jednak ovom stepenu ako se ubrojimultiplicitetrešenja, kao ikompleksnarešenja. Ova činjenica jeosnovna teorema algebre.

Sabiranje polinoma

Polinome sabiramo po pravilu sabiranja i sličnih monoma. U zbiru dva polinoma prvo se oslobodimo zagrada pred kojima je znak sabiranja "+" i to tako da zagrade ostavimo a članove polinoma prepišemo, a onda saberemo slične monome u polinomu. Ako se u izrazu pojavljuje više zagrada, onda se prvo oslobodimo male, pa srednje, a onda velike zagrade.

Primer 1: Saberi polinome: P(x)=4x²-5x+2 P(x)=2x²-7x-1

Zbir ova dva polinoma pišemo: P(x)=(4x²-5x+2)+(2x²-7x-1) =4x²-5x+2+2x²-7x-1 =6x²-12x+1=Q(x)

Primer 2: Pod sumom dva polinoma f(x) i g(x) podrazumjevamo polinom oblika: f(x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x +...+ (an + bn ) xn

Primer: f(x) = 3 + 5x - 8x² g(x) = x - 2x² + 5x³ f(x) + g(x) = 3 + 6x - 10x² + 5x³

Primer 3: Pod razlikom dva polinomaf(x)ig(x)podrazumjevamo polinom oblika: f(x) - g(x) = (a₀- b₀) + (a₁- b₁)x +...+ (a_n- b_n)xⁿ

Primer: f(x)= 3 + 5x - 8x² g(x)= x - 2x² + 5x³ f(x) - g(x)= 3 + 4x - 6x² - 5x³

Povezano

• Monom
• Homogeni polinom
• Simetrični polinom
• Karakteristični polinom
• Binomna teorema

Spoljašnje veze

• Besplatan onlajn kalkulator za polinomeArhivirano2011-07-20 naWayback Machine-u

PolinomnaWikimedijinoj ostavi