Zakrivljenost

Prikaz zakrivljenostiprostor-vremena.

Umatematici,zakrivljenostse odnosi brojne u maloj meri povezane koncepte iz različitih oblastigeometrije.Intuitivno, zakrivljenost je mera odstupanja geometrijskog objekta odravni,ilipraveu slučajulinije,ali se to definiše na različite načine u zavisnosti od konteksta.

Svaka neprekidnakrivamože se aproksimiratikrugomodređenogpoluprečnikau okolini date tačke. Pretpostavimo da je kriva data u ravni. Poluprečnik kruga koji je dodiruje u tački (x,y) i ima isti prvi i drugi izvod kao i data kriva u toj tački predstavlja zakrivljenost krive. Krenimo od jednačine kruga sa centrom u tački (p,q)

$\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}=r^{2}$,(1)

gde jerpoluprečnik kruga.

Diferenciranjem ove jednačine dobijamo

$\left(x-p\right)+\left(y-q\right)y'=0$,(2)

a još jednim diferenciranjem

$1+y'^{2}+\left(y-q\right)y''=0$.(3)

Iz (3) dobijamo da je

$y-q=-\left(1+y'^{2}\right)/y''$,(4)

a vraćanjem ovog rezultata u (2) sledi

$x-p=y'\left(1+y'^{2}\right)/y''$,(5).

Uvrštavanjem (4) i (5) u (1), dobijamo da je poluprečnik (krivine) kruga dat sa:

$r=\left(1+y'^{2}\right)^{\left(3/2\right)}/\left|y''\right|$,(6)

uz napomenu da jeruvek pozitivan.

Za sve tačke na krugu, pa tako i tačke dela krive koju krug aproksimira (dodirna tačka i beskonačno mala okolina) veza poluprečnika kruga (zakrivljenosti) i prvog i drugog izvoda krive u toj tački data je jednačinom (6).

Ukoliko pomerimo koordinatni početak u dodirnu tačku kruga i krive i još postavimo x osu da se poklopi sa tangentom krive u toj tački,prvi izvodpostaje nula i jednačina poluprečnika krivine (zakrivljenosti krive) se svodi na:

$r=1/\left|y''\right|$.

Iz jednačina (4) i (5) mogu se za svaku tačku krive odrediti koordinate centra kruga zakrivljenostipiq.Te tačke definišu novu krivu koja se nazivacentroida.

Literatura

• Coolidge, J.L. "The Unsatisfactory Story of Curvature". The American Mathematical Monthly, Vol. 59, No. 6 (Jun. - Jul., 1952), pp. 375-379
• Curvatureat the Encyclopaedia of Mathematics
• Morris Kline:Calculus: An Intuitive and Physical Approach.Dover 1998.ISBN978-0-486-40453-0.pp. 457-461 (restricted online copynaGoogle knjigama)
• A. Albert Klaf:Calculus Refresher.Dover 1956.ISBN978-0-486-20370-6.pp. 151-168 (restricted online copynaGoogle knjigama)
• James Casey:Exploring Curvature.Vieweg+Teubner Verlag 1996.ISBN978-3-528-06475-4.

Spoljašnje veze

ZakrivljenostnaWikimedijinoj ostavi

• Create your own animated illustrations of moving Frenet-Serret frames and curvature
• The History of CurvatureArhivirano2007-11-06 naWayback Machine-u
• Curvature, Intrinsic and Extrinsicat MathPages