Za stilsku figuru, pogledajteElipsa (književnost) Vrste konusnih presjeka (kružnica ,elipsa,parabola ihiperbola ) Elipsa (starogrč. ἔλλειψις ,nedostatak) je umatematici kriva zatvorena linija uravni ,koja se može defniisati kaogeometrijsko mesto tačaka čiji je zbirrastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivajufokusima elipse ,a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.
Elipsa ima dvaprečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.
Ose elipse suprave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, inormalna je na prvu.
Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se nazivakrug .
Analitički posmatrano, elipsa jekriva drugog reda :
f
(
x
,
y
)
=
α
11
x
2
+
2
α
12
x
y
+
α
22
y
2
+
2
α
13
x
+
2
α
23
y
+
α
33
=
0
{\displaystyle f(x,y)=\ Alpha _{11}x^{2}+2\ Alpha _{12}xy+\ Alpha _{22}y^{2}+2\ Alpha _{13}x+2\ Alpha _{23}y+\ Alpha _{33}=0\,}
Koja zadovoljava sledeće uslove:
Δ
=
|
α
11
α
12
α
13
α
12
α
22
α
23
α
13
α
23
α
33
|
≠
0
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}\ Alpha _{11}&\ Alpha _{12}&\ Alpha _{13}\\\ Alpha _{12}&\ Alpha _{22}&\ Alpha _{23}\\\ Alpha _{13}&\ Alpha _{23}&\ Alpha _{33}\end{vmatrix}}\neq 0}
δ
=
|
α
11
α
12
α
12
α
22
|
>
0
{\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}\ Alpha _{11}&\ Alpha _{12}\\\ Alpha _{12}&\ Alpha _{22}\\\end{vmatrix}}>0}
Za realnu elipsu:
T
⋅
Δ
=
(
α
11
+
α
22
)
⋅
Δ
<
0
{\displaystyle T\cdot \Delta =(\ Alpha _{11}+\ Alpha _{22})\cdot \Delta <0}
T
⋅
Δ
>
0
{\displaystyle T\cdot \Delta >0}
Ukoliko su ose elipse paralelne sa osamadekartovog koordinatnog sistema ,ova jednačina izgleda ovako:
α
11
x
2
+
α
22
y
2
−
α
33
=
0
{\displaystyle \ Alpha _{11}x^{2}+\ Alpha _{22}y^{2}-\ Alpha _{33}=0\,}
Što se može zapisati i kao
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
U ovoj jednačini sua ib u stvari veličine poluprečnika elipse.
Površina elipse je:
P
=
a
b
π
{\displaystyle P=ab\pi }
gde sua ib poluprečnici elipse, api matematička konstanta.
Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:
e
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
gde sua ib dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sac označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse,e će biti:
e
=
c
a
{\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
Obim elipse se može predstaviti na razne načine:
Beskonačni redovi:
O
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
e
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
e
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
e
6
5
−
…
]
{\displaystyle O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}
Što je isto što i:
O
=
2
π
a
∑
n
=
0
∞
{
−
[
∏
m
=
1
n
(
2
m
−
1
2
m
)
]
2
e
2
n
2
n
−
1
}
{\displaystyle O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }}
Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravioRamanudžan :
O
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
{\displaystyle O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}
Koja se takođe može zapisati kao:
O
≈
π
a
[
3
(
1
+
1
−
e
2
)
−
(
3
+
1
−
e
2
)
(
1
+
3
1
−
e
2
)
]
{\displaystyle O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,}
U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:
O
≈
π
a
(
9
−
35
)
/
2
{\displaystyle O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,}
![{\displaystyle O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadec4e94db64187e07972eba072b3d598407e86)
![{\displaystyle O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6261a3b0206b3d8f585b91833ad195994961cc0)
![{\displaystyle O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e28127cf2d36a3c0208f25eb942712891b4b62)
![{\displaystyle O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f256af02019f86af01ae7f2e457cdacfb2e99368)
