Kompleksno število

Kompleksno število se lahko vizualno predstavi kot par števil(a, b),ki oblikujetavektorvArgandovem diagramuin tako ponazarjatakompleksno ravnino.»Re« je realna os, »Im« je imaginarna os inijeimaginarna enotaza katero veljai²= −1.

Množicakompléksnih števílpredstavlja razširitevrealnih števil,v kateri se lahkokorenitudinegativna števila.Kompleksna števila vsebujejoimaginarno enoto$i\,$(velektrotehnikise zasledi tudi oznako$j\,$), kjer je$i^{2}=-1\,$.Kompleksna števila so oblike$x+iy\,$,kjer je$x\,$realni delkompleksnega števila,$y\,$pa njegovimaginarni del.

Koristne so tudi naslednje enačbe:

$i^{1}=i\!\,,$

$i^{2}=-1\!\,,$

$i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i\!\,,$

$i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot (-1)=1\!\,.$

Seštevanjeinmnoženjekompleksnih števil:

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)\!\,,$

$(a+ib)\cdot (c+id)=ac-bd+i(bc+ad)\!\,.$

Množico kompleksnih števil je z relacijoleksikografske urejenostipo obeh realnih komponentah močurediti,nikakor pa je ni močdobro urediti.

Definicija

Prikazkompleksne ravnine.Realni delkompleksnega številaz=x+iyjex,njegovimaginarni delpay.

Formalno se lahko kompleksna števila določi koturejeni parrealnih števil (a,b) skupaj z operacijami:

• $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\!\,,$
• $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)\!\,.$

Tako urejena kompleksna števila tvorijoobseg,označen z znakomCoziroma$\mathbb {C} \,$.Realna števila se v množiciCzapišejo kot (a,0). Tako so realna številapodmnožicamnožiceC.Imaginarna enota$i\,$je predstavljena kot (0,1).

MnožicaCima naslednje posebne elemente:

• identitetoza seštevanje: (0,0)
• identiteto za množenje: (1,0)
• inverzni elementglede na seštevanje elementa (a,b): (−a,−b)
• inverzni element za množenje neničelnega elementa (a,b):$\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)\,$

Geometrija

Kompleksno število se lahko predstavlja tudi kottočkoalivektorvkartezičnem koordinatnem sistemu:

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi ).\!\,$

Ta enačba se zapiše tudi kotrcos φ, kjer jer= |z| (absolutna vrednostz) in φ = arg(z) (argumentz). Eulerjeva enačba pa pravie^{i φ}= cosφ + jsinφ.Eksponentnizapis je bolj nazoren kot okrajšani zapisrcis φ. Z enostavnimitrigonometričnimienakostmi se lahko pokaže, da velja:

$r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}\!\,$

in:

${\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}\!\,.$

Tako je seštevanje dveh kompleksnih števil samo seštevanje dveh vektorjev, množenje z določenim kompleksnim številom pa je hkratnovrtenjeinrazteg.

Množenje zije enakovredno vrtenju v nasprotni smeri urinega kazalca za 90 stopinj. Geometrijski ekvivalent enačbei²= -1 je vrtenje za 180 stopinj. Tako se lahko tudi na enačbo (-1) · (-1) = 1 geometrijsko gleda kot na dve vrtenji za 180 stopinj, torej vrtenje za 360 stopinj.

Absolutna vrednost, konjugacija in razdalja

Absolutna vrednost kompleksnega številaz=r e^iφje definirana kot |z| =r.Algebrsko gledano, če jez=a+ib,potem je |z| = √(a²+b²).

Absolutna vrednost ima tri pomembne značilnosti:

$|z+w|\leq |z|+|w|\!\,,$

$|zw|=|z|\;|w|\!\,,$

$|z/w|=|z|/|w|\!\,$

za vsa kompleksna številazinw.Z definiranjemrazdaljed(z,w) = |z+w| se pretvori kompleksna števila v metrični sistem, kateremu se lahko potem določi meje in se govori ozveznosti.Seštevanje,odštevanje,množenje indeljenje(z izjemo deljenja z ničlo) so tako zvezne operacije.

Konjugacija kompleksnega številaz=a+ibje definirana kota-ib,kar se zapiše kot${\bar {z}}$aliz^*.Kot se lahko vidi na sliki, je geometrijska ponazoritev konjugacije${\bar {z}}$zrcaljenještevilazprekrealne premice.

Velja naslednje:

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}\!\,,$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}\!\,,$

${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}\!\,,$

${\bar {\bar {z}}}=z\!\,,$

${\bar {z}}=z\!\,,$če in samo če jezrealno število

$|z|=|{\bar {z}}|\!\,,$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}\!\,,$

$z^{-1}={\bar {z}}|z|^{-2}\!\,,$čezni nič

Konjugacija jekomutativnaz vsemi algebrskimi operacijami (in z nekaterimi funkcijami, npr.$\sin {\bar {z}}={\overline {\sin z}}\,$), kar je tesno povezano z imaginarno enotoi(-1 ima dva različna kvadratna korena). Konjugacija ni odvedljiva operacija.

Seštevanje in odštevanje

Seštevanje dveh kompleksnih števil po paralelogramskem pravilu.

Kompleksna števila se sešteva tako, da se sešteje posebej realni in posebej imaginarni komponenti:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\!\,.$

Podobno se tudi odšteva:

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\!\,.$

Deljenje kompleksnih števil

Kompleksno številoa+ ibse želi zdeliti z neničelnim kompleksnim številomc+ id.To se lahko stori na dva načina. Prva možnost je, da se kompleksno število pretvori v eksponentno obliko iz katere je potem lahko izračunati kvocient. Pri drugi možnosti se kvocient izrazi kot ulomek, nato pa se imenovalec in števec pomnoži s konjugiranim imenovalcem, kar privede do realnega imenovalca:

${\begin{aligned}{\frac {a+ib}{c+id}}&={\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}={\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\\&=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\right)+i\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)\!\,.\end{aligned}}$

Množenje kompleksnih števil

Za množenje dveh kompleksnih števil veljajo pravila množenjadvočlenikovin ob upoštevanju da je$i^{2}=-1\,$se dobi naslednji predpis:

$(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi-bd=ac-bd+(ad+cb)i\!\,.$

Zato se tudi pri množenju kompleksnega števila s samim seboj (kvadriranju) dobi naslednji predpis:

$(a+bi)(a+bi)=a^{2}+2abi-b^{2}\!\,.$

V množici kompleksnih števil je vsota kvadratov razstavljiva:

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\!\,.$

Zgodovina

Prvič so kvadratni koreni negativnih števil morebiti omenjeni v delih starogrškega matematikaHeronaiz Aleksandrije v 1. stoletju naše ere, ki se v svojem deluStereometricalotil prostornine nemogoče prisekane piramide in prišel do očitno napačnega rezultata$\scriptstyle {\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}$- pri tem helenistična matematika negativnih števil tako ali tako ni poznala, pa je Heron izraz »popravil« na ($\scriptstyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}$).

Študij kompleksnih števil je bil resne pozornosti deležen prvikrat v 16. stoletju, ko so italijanski matematiki iskali in odkrivali algebrske rešitve za korene polinomov tretje in četrte stopnje (glejGerolamo Cardano). Hitro je postalo jasno, da je kljub temu, da so bile zanimive samo realne rešitve, bilo potrebno včasih delati s kvadratnimi koreni negativnihh števil. Formula za kubično enačbo oblike$\scriptstyle x^{3}=px+q$daje za rešitev enačbex³=xnaslednje:

${\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(({\sqrt {-1}})^{1/3}+{\frac {1}{({\sqrt {-1}})^{1/3}}}\right)\!\,.$

Na prvi pogled gre za nesmisel. Formalne kalkulacije kompleksnih števil pa pokažejo, da ima enačbaz³=irešitve−i,${\scriptstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}i$in${\scriptstyle {\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}}+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}i$.Če te vrednosti vstavimo vizraz${\scriptstyle {\sqrt {-1}}^{1/3}}$iv zgornji formuli in če ga potem poenostavimo, bomo dobili realne vrednosti 0, 1 in −1 kot rešitve fx³−x= 0.Seveda je to enačbo mogoče rešiti na pamet, vendar pa primer kaže, da se kompleksnim številom ni mogoče izogniti, če se za reševanje kubičnih enačb uporabljajo splošne formule, ne glede na to, ali so koreni realni ali pa kompleksni ali imaginarni.

Rafael Bombellise je kot prvi izrecno lotil teh navidez paradoksnih rešitev kubičnih enačb in razvil pravila kompleksne aritmetike, ki so za te namene bila potrebna.

Naziv »imaginarno« za te značilnosti je skovalRené Descartesleta 1637, ki mu je bilo težko spoprijateljiti se z njih imaginarno naravo

[...] včasih samo imaginarne, ki lahko, kot sem že rekel, ekzistirajo v vsaki enačbi, ki pa kot količine, ki bi odgovarjale našim predstavam, včasih ne obstajajo([...] quelquefois seulement imaginaires c’est-à-dire que l’on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu’on imagine.)

Dodaten vir zmed je bila enačba$\scriptstyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$,ki se je samovoljno postavljala po robu algebraični resnicvi$\scriptstyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$,ki velja za nenegativni številiainb,in ki se je tudi uporabljala v kompleksnih računih z enim številom oda,bpozitivnim in drugim negativnim. Nepravilna raba te identitete (in z jo sorodne identitete$\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}$), kadar sta obaainbnegativni števili, ni dala spati Eulerju. Iz tega razloga je prišlo do konvencije, da se namesto korena negativne enke rabi poseben znak$i\,$.Ne glede na to je Euler bil mnenja, da gre za nekaj naravnega; svoje učence je uvedel v kompleksna števila mnogo preje, kot se to dogaja danes. V svojem učbenikuElementi algebreje uvedel ta števila skorajda na prvi strani.

V 18. stoletju se je raba kompleksnih števil vse bolj širila, posebno ko je postalo jasno, da je mogoče s formalno manipulacijo kompleksnih izrazov poenostaviti izraze, ki vsebujejo trigonometrične funkcije. Tako je leta 1730Abraham de Moivrezapisal, da je mogoče zapletene identitete, ki povezujejo trigonimetrične funkcije celoštevilčnih mnogokratnikov danega kota poenostaviti s pomočjo formule, ki nosi njegovo ime:

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta \!\,.$

Leta 1748 jeLeonhard Euleršel korak dlje in zapisal Eulerjevo formulo kompleksne analize:

$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }\,$

Do nje je prišel s formalno manipulacijo potenčnih vrst in pri tem prišel do spoznanja, da je mogoče poljubno trigonometrično identiteto poenostaviti v precej enostavnejše eksponencialne identitete.

Predstaviti kompleksno število kot točko v kompleksni ravnini (glej zgoraj) je prvi zapisal Caspar Wessel leta 1799, misli v tej smeri pa je bilo mogoče brati že leta 1685 vWallisovemDe Algebra tractatus.

Wesselov članek v Delih Kopenhagenske akademije je ostal več ali manj brez odziva. Leta 1086 je neodvisno od njegaJean-Robert Argandizdal članek na temo kompleksnih števil in v njem objavil strogidokazosnovnega izreka algebre.Carl Friedrich Gaussje pred tem leta 1797 objavil v bistvu topološki dokaz izreka, vendar je pri tem izrazil dvome o »resnični metafiziki kvadratnega korena −1.« Šele leta 1831 je premagal svoje dvome in objavil svoje delo o kompleksnih številih kot točkah v ravnini, delo, ki je temelj dandanašnji notaciji in terminologii. Angleški matematikGodfrey Harold Hardyje poudaril, da je med matematiki bil Gauss prvi, ki je kompleksna števila uporabljal 'res zanesljivo in znanstveno', četudi so jih matematiki, kot sta bilaNiels Henrik AbelandCarl Gustav Jacob Jacobi,iz nuje rutinsko uporabljali, še preden je leta 1831 Gauss objavil svoje delo.Augustin Louis Cauchy(od leta 1825 dalje) inBernhard Riemannsta skupaj do visoke mere dokončala stavbo kompleksne analize.

V teoriji običajno rabljeni izrazi so potomci svojih staršev. Argand je imenoval$\scriptstyle \cos \phi +i\sin \phi$smerni faktorin$\scriptstyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$modul;Cauchy (1828) je$\cos \phi +i\sin \phi$imenovalreducirana oblika(l'expression réduite), uvedel naj bi tudi izrazargument;Gauss je uporabiliza$\scriptstyle {\sqrt {-1}}$in uvedel izrazkompleksno številozaa+bi,a²+b²pa imenovalnorma.Izrazsmerni koeficient,pogosto rabljen za$\cos \phi +i\sin \phi$,je zaslugaHermanna Hankela(1867),absolutna vrednostzamodul,pa izvira od Weierstrassa.

Kasnejši klasični avtorji splošne teorije so med drugimJulius Wilhelm Richard Dedekind,Otto Ludwig Hölder,Felix Christian Klein,Henri Poincaré,Hermann Amandus Schwarz,Karl Weierstrassin še mnogo drugih.

Glej tudi

• kvaternion

Viri

• Descartes, René(1954) [1637],La Géométrie | Geometrija, René Descartes, s faksimilom prve izdaje,Dover Publications,ISBN0-486-60068-8,pridobljeno 20. aprila 2011
• Hardy, Godfrey Harold;Wright, Edward Maitland(2000) [1938],An Introduction to the Theory of Numbers | Uvod v teorijo števil,OUP Oxford,COBISS6813524,ISBN0-19-921986-9
• Nahin, Paul J. (2007),An Imaginary Tale: The Story of √−1 | Imaginarna pripovedka: zgodba o √−1,Princeton University Press,COBISS28434693,ISBN978-0-691-12798-9,pridobljeno 20. aprila 2011