Metoda izčrpavanja

Metóda izčrpávanja(tudi metóda ekshávcije,latinskomethodus exhaustionibus,francoskométhode des anciens) je vmatematikimetoda iskanjapovršineoblik(likov,teles) zvčrtavanjemzaporedjamnogokotnikovkaterih površinakonvergirak tej obliki. Če se zaporedje pravilno skonstruira, postane razlika v površinah medn-tim mnogokotnikom in obliko poljubno majhna, konpostane velik. Ker ta razlika postane poljubno majhna, se možne vrednosti za površino oblike sistematično »izčrpavajo« s spodnjimi mejami površin, ki jih uspešno določajo členi zaporedja.

Metoda izčrpavanja po navadi zahteva neko vrstodokaza s protislovjem,znanem z latinsko tujko kotreductio ad absurdum.To pomeni, da se najde površina območja tako, da se jo najprej primerja s površino drugega območja, (ki se lahko »izčrpa«, tako da njegova površina postane poljubno blizu prave površine). Dokaz vključuje privzetek, da je prava površina večja od druge površine, nato pa se dokaže da je ta napačen, in se potem privzame, da je manjša od druge površine, ter dokaže napačnost tudi te trditve.

Zgodovina

Grégoire de Saint-Vincent

Zamisel metode izvira iz poznega 5. stoletja pr. n. št. prek starogrškega oratorjaAntifona,čeprav ni popolnoma jasno kako dobro jo je sam razumel.Strožje je teorijo postavilEvdoksnekaj desetletij pozneje, ki jo je uporabljal za izračun površin inprostornin.Kasneje jo je naKitajskemponovno odkrilLiu Huiv 3. stoletju pri iskanju površinekroga.

Evklidje s to metodo dokazal šestpropozicijv 12. knjigi svojihElementov.Arhimedje skupaj s konceptomneskončno majhne količinerabil metodo izčrpavanja kot način za izračun površine znotraj kroga z očrtavanjem in včrtavanjem mnogokotnikov z večjo in manjšo površino in vse večjim številomstranic.Na ta način je izračunal dober približek za številoπ.Njegovo deloMetoda mehanskih izrekovvsebuje eksplicitno rabonedeljivihkoličin, ki se včasih navezujejo na neskončno majhne količine.Arhimed ni priznaval metode nedeljivih za del stroge matematike in zaradi tega ni objavil svoje metode v formalnih razpravah, ki vsebujejo rezultate. V teh razpravah je dokazal iste izreke z metodo izčrpavanja, našel stroge zgodnje in spodnje meje, ki vse konvergirajo k zahtevani vrednosti. Ne glede na to je mehansko metodo rabil pri odkrivanju povezav za katere je kasneje podal stroge dokaze.

Prvič je izraz uporabil flamski jezuitGrégoire de Saint-Vincentv svojem deluOpus geometricum quadraturae circuli et sectionumleta 1647.

Metoda izčrpavanja predstavlja neke vrste predhodnika metodinfinitezimalnega računa.Razvojanalitične geometrijein strogegaintegralnega računav obdobju med 17. in 19. stoletjem je vključil metodo izčrpavanja tako, da se eksplicitno pri reševanju problemov ne rabi več. Pomemben alternativni pristop je biloCavalierijevo načelo,imenovano tudimetoda nevidnih,ki se je na koncu razvilo v infinitezimalni računRobervala,Torricellija,Wallisa,Leibnizain drugih.

Evklid

Evklidje z metodo izčrpavanja dokazal naslednjih šest propozicij v 12. knjgi svojihElementov.

• Propozicija 2: površina krogov je sorazmerna s kvadratom njihovim premerov.

• Propozicija 5: prostornine dveh tetraedrov z enako višino so sorazmerne s površinami njihovih trikotniških stranskih ploskev.

• Propozicija 10: prostornina stožca je ena tretjina prostornine odgovarjajočega valja z enako osnovno ploskvijo in višino.

• Propozicija 11: prostornina stožca (ali valja) z enako višino je sorazmerna s površino osnovne ploskve.

• Propozicija 12: prostornina stožca (ali valja), ki je podobna drugi, je sorazmerna s kocko z razmerjem premerov osnovnih ploskev.

• Propozicija 18: prostornina krogle je sorazmerna s kocko z njenim premerom.

Arhimed

Arhimedje rabil metodo izčrpavanja za izračunpovršinekroga

Arhimedje rabil metodo izčrpavanja kot način za računanje površine znotraj kroga z včrtavanjem in očrtavanje zmnogokotnikiz vse večjo površino in vse večjim številomstranic.Kvocient med površino mnogokotnika in kvadrata premera kroga je lahko poljubno blizu številuπ,ko število stranic postaja vse večje, kar dokazuje, da je površina znotraj kroga s premerom$r\!\,$enaka$\pi r^{2}\!\,$,pri čemer jeπdefiniran kot razmerje medobsegomkroga in njegovim premerom ($o/d\!\,$) ali med površino kroga in kvadratom njegovega polmera ($P/r^{2}\!\,$).

Določil je tudi meji:

$3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}\!\,$

(v obsegu$1/497\!\,$) s primerjavo obsegov kroga z obsegi včrtanega in očrtanega pravilnega mnogokotnika s 96-imi stranicami.

Med druge rezultate, ki jih je dosegel z metodo izčrpavanja, spadajo:

• površina, ki jo omejujepresečiščepremiceinparabole,je enaka 4/3 površinetrikotnikaz enako osnovno stranico in višino,
• površinaelipseje sorazmerna s pravokotnikom z dolžinama stranic enakima njenima veliki in mali osi,
• prostorninakrogleje enaka 4-kratniku prastorninestožcaz osnovno ploskvijo z enakim polmerom in višino enako temu polmeru.
• prostorninavaljaz višino enako premeru njegove osnovne ploskve je enaka 3/2 prostornine krogle z enakim premerom,
• površina, ki jo omejujetavrtežarhimedske spiralein premica, je enaka 1/3 površine kroga s polmerom enakim dolžine nastaledaljicemed spiralo,
• raba metode izčrpavanja je tudi prvič vodila tudi do uspešne določitve vrednostineskončne geometrične vrste.

Glej tudi

• Metoda mehanskih izrekov
• Kvadratura parabole
• trapezno pravilo
• Pitagorov izrek

Viri

• Arhimed(1912),The method of Archimedes recently discovered by Heiberg; a supplement to the Works of Archimedes,Cambridge University Press(prevodThomas Little Heath)
• Dolenc, Sašo (2002),»Manj kot nekaj, a več kot nič: Zenon, infinitezimali in paradoks kontinuuma«,Filozofski vestnik,23(3): 93–109,COBISS20303661
• Dun, Liu. 1966. "A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles."Pp. 279–87 vChinese Studies in the History and Philosophy of Science and Technology179, edited by D. Fan, and R. S. Cohen.Kluwer Academic Publishers.ISBN0-7923-3463-9
• Jerman, Marjan (2014),»Kratek vpogled v zgodovino integracije«,Obzornik za matematiko in fiziko,61(3): 81–97,COBISS17078361
• Jerman, Marjan (2016),»Arhimedova kvadratura parabole«,Presek,43(6): 81–97,COBISS17711449
• Netz, Reviel; Saito, Ken; Tchernetska, Natalie: A new reading of Method Proposition 14: preliminary evidence from the Archimedes palimpsest. I. SCIAMVS 2 (2001), 9–29.
• Smith, David E. (1958),History of Mathematics,New York: Dover Publications,ISBN0-486-20430-8