Nevtralni element

Nevtrálni elemèntaliidentitétaI(označen tudi zE(nemškoEinheit- enota),eali1,pa tudi0)grupezoperacijo*, oziroma pripadajočematematične struktureS,je vmatematikiposeben edini element, za katerega za vsaka $\in$ Svelja:

e*a=a*e=a.

Nevtralni element imenujemo tudienotski element.Na levi strani predpisa jelevi nevtralni elementin na desnidesni nevtralni element.Če jeehkrati levi in desni nevtralni element, ga imenujemo tudidvostrani nevtralni element.

Zgledi

Če (S,*) označujemnožico realnih števil,zaprto zaseštevanje,ještevilo 0nevtralni element.
Če (S,*) označuje množico realnih števil, zaprto zamnoženje,je nevtralni elementštevilo 1.
Če (S,*) označuje množicon×,nkvadratnihmatrik,zaprto za seštevanje, je nevtralni element ničta matrika.
Če (S,*) označuje množicon×,nkvadratnih matrik, zaprto za množenje, je nevtralni element enotska matrika.
Če (S,*) označuje množico vsehfunkcijmnožiceMsame vase, zaprto za operacijosestave(kompozicije), je nevtralni elementidentična funkcija.
Če ima množicaSsamo dva elementa,einfin je v njej določenaaritmetična operacijaze*e=f*e=einf*f=e*f=f,staeinfleva nevtralna elementa. Desnega ali dvostranega nevtralnega elementa v takšni množici potem ni.

Kot kaže zadnji zgled lahko ima par (S,*) več levih nevtralnih elementov. V bistvu je lahko vsak element levi nevtralni element. Podobno lahko obstoje tudi desni nevtralni elementi. Če obstajajo hkrati levi in desni nevtralni elementi, so enaki in tako obstajajo samo dvostrani nevtralni elementi. To lahko vidimo, če označimolkot levi nevtralni element inrkot desni nevtralni element. Potem jel=l*r= r.

Če jeenevtralni element para (S,*) ina*b=e,potem elementaimenujemolevi obratni element (inverz)elementabinbdesni obratni elementelementaa.Če je elementxhkrati levi in desni obratni elementy,ga imenujemodvostrani obratni element,oziroma enostavnoobratni elementy.

Podobno kakor pri nevtralni elementih ima lahko elementyveč levih obratnih elementov in tudi več levih in hkrati več desnih obratnih elementov. Če pa je operacijaasociativna,so obratni elementi enaki, če obstajajo za elementyhrati levi in desni obratni elementi.

Glej tudi