Polinom

Polinóm,mnogočlénikaliveččlenikstopnjen,jelinearna kombinacijapotencz nenegativnimicelimieksponenti.

Splošno

Splošni zapis polinoma

$p_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\qquad (1)$

ali krajše

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\qquad (2),$

kjer so koeficienti

$a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\ldots a_{2},a_{1},a_{0}\;;\;a_{n}\neq 0\qquad (3)$

poljubnarealna številaali kompleksna števila. Polinome uvrščamo med celeracionalnefunkcije.Preprosti polinomi so realne funkcije ene realne spremenljivke:

$p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad p:x\mapsto p(x)\qquad (4).$

Osnovni parametri polinoma so:

• stopnja polinomast(p) = n
• vodilni koeficienta_n
• prosti člena₀.

Glede stopnje polinoma ločimo

• polinomničtestopnje (n = 0) ali konstantni polinom

$p_{0}(x)=a_{0},a_{0}\neq 0\qquad (5),$

• polinom prve stopnje (n = 1) ali linearni polinom

$p_{1}(x)=a_{1}x+a_{0},a_{1}\neq 0\qquad (6),$

• polinom druge stopnje (n = 2) ali kvadratni polinom

$p_{2}(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},a_{2}\neq 0\qquad (7)$

• polinom tretje stopnje (n = 3) ali kubični polinom

$p_{3}(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},a_{3}\neq 0\qquad (8)...$

Grafpolinoma je nepretrgana ravninska polinomskakrivuljan-te stopnje:

$Gr_{p}=\left\{{T(x,p(x));\left({x\in \mathbb {R} }\right)\wedge \left({y=p(x)}\right)}\right\}\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} \qquad (9).$

Enakost polinomov

Polinoma

$p_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq 0$

in

$q_{m}(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},\;b_{m}\neq 0$

sta med seboj enaka, če se ujemata v stopnji (n = m) in v vseh koeficientih (za vsak k ≤ n velja a_k= b_k).

Računske operacije nad polinomi

Nad polinomi lahko izvajamo naslednje računske operacije:

• množenjepolinomov s konstanto
• seštevanjepolinomov
• odštevanjepolinomov
• množenjepolinomov
• deljenjepolinomov
• potenciranjepolinomov.

Za računske operacije, ki jih izvajamo nad polinomi veljajo enaki računski zakoni kot za računanje s celimi števili.

Množenje polinoma s konstanto

Pri množenju polinoma s konstanto množimo vse njegove člene s to konstanto:

$(c\cdot p)(x)=\sum _{k=0}^{n}ca_{k}x^{k},c\in \mathbb {R} \qquad (10).$

Seštevanje polinomov

Seštevanje dveh ali več polinomov izvajamo tako, da seštevamo med seboj člene z enakimi potencami. Stopnja vsote je manjša ali kvečjemu enaka najvišji stopnji izmed vseh polinomov v vsoti.

$(p_{n}+q_{m})(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{l=0}^{m}b_{l}x^{l}=\sum _{k=0}^{\max(m,n)}(a_{k}+b_{k})x^{k}\qquad (11)$

Odštevanje polinomov

Odštevanje polinomov je nasprotna računska operacija seštevanju, zato za odštevanje polinomov veljajo enaka pravila kot za seštevanje:

$(p_{n}-q_{m})(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}-\sum _{l=0}^{m}b_{l}x^{l}=\sum _{k=0}^{\max(m,n)}(a_{k}-b_{k})x^{k}\qquad (12).$

Množenje polinomov

Polinome med seboj množimo po distributivnostnem pravilu ali pravilu o razčlenjevanju.

$(p_{n}\cdot q_{m})(x)=\left({\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}\right)\cdot \left({\sum _{l=0}^{m}b_{l}x^{l}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\sum _{l=0}^{m}a_{k}b_{l}x^{k+l}}=\sum _{i=0}^{n+m}{\left({\sum _{k+l=i}^{}a_{k}b_{l}}\right)}x^{i}\qquad (13)$

Velja naslednje: Vodilni koeficient produkta dveh ali več polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov. Prosti člen produkta dveh ali več polinomov je prav tako enak produktu prostih členov posameznih polinomov.Stopnjaprodukta dveh ali več polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.

Deljenje polinomov

Pri deljenju polinomov se oprimemoosnovnega izreka odeljenju,ki pravi: Za poljubna polinomapstopnjeninqstopnjem,kjer veljan > m,obstajata natanko določena polinomakinr,tako da velja

$p_{n}(x)=k_{n-m}(x)\cdot q_{m}(x)+r(x)\qquad (14).$

Polinomkimenujemokoličnik(stopnjen - m), polinomrpaostanek(stopnje0 ≤ st(r) < m).

Deljenje polinomaps polinomom (x−a)

Posebej zanimiv primer deljenja je deljenje polinomapz linearnim polinomom oblike (x−a). Ker je stopnja ostanka vedno manjša od stopnje delitelja, mora biti ostanek pri takem deljenju stopnje 0 - ostanek je torej konstanten polinom (število):

$p(x)=(x-a)\,k(x)+o$

Če v zgornjo enakost vstavimo vrednostx=a,se izkaže, da je vrednostp(a) ravno enaka zgoraj omenjenemu ostanku. Torej velja pomembna zakonitost:

Ostanek pri deljenju polinomaps polinomom (x−a) je vedno enak kot vrednost polinomapv točkia.

Če je številoaničlapolinomap,je ostanek seveda enak 0 in to pomeni, da lahko polinom zapišemo v obliki produkta dveh faktorjev:

$p(x)=(x-a)\,q(x)$

Razcep polinomov

Če poznamo vse ničle, lahko polinom stopnjenzapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki:

$p(x)=A(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})$

ŠteviloAje vodilni koeficient polinoma, številaa₁,a₂,...,a_npa so ničle.

Pri tem se lahko upravičeno vprašamo, ali polinom sploh ima ničle. Obstoj ničel zagotavljaosnovni izrek algebre(imenovan tudi Gaussov izrek). Žal pa ne obstaja noben splošni postopek, s katerim bi lahko izračunali vse ničle katerega koli polinoma. Pri iskanju ničel si zato pomagamo z različnimi postopki, med katerimi so najpomembnejši:

• pravila zarazcepljanjeveččlenikov,
• Hornerjev algoritem,
• numerične metode,npr.metoda bisekcije.

Viètove formule polinoma

Naj bo

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

polinom stopnje$n$,$a_{n},a_{n-1},\dots,a_{2},a_{1},a_{0}$koeficienti polinoma in$a_{n}\neq 0.$Z$\alpha _{1},\alpha _{2},\dots,\alpha _{n}$označimo (ne nujno različne) ničle polinoma$p$.Potem med ničlami polinoma$p$in njegovimi koeficienti obstajajo relacije, ki jih imenujemoVietove formule polinoma.Imenujejo se po francoskem matematikuFrançoisu Vièteu.

Glasijo se takole:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n-1}+\alpha _{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\&(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+\cdots +\alpha _{1}\alpha _{n})+(\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}+\cdots +\alpha _{2}\alpha _{n})+\cdots +\alpha _{n-1}\alpha _{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad &\vdots \\&\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{aligned}}$

Zgledi

Polinom stopnje 2

Polinom stopnje 2, ali bolj pogostokvadratna funkcijaje polinom oblike

$p(x)=ax^{2}+bx+c,\;a\neq 0.$

Viètovi formuli za kvadratno funkcijo z ničlama$x_{1}$in$x_{2}$večina že pozna iz osnovne ali srednje šole. Glasijo se takole:

${\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\&x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\end{aligned}}$

Polinom stopnje 3

Splošna oblika polinoma 3. stopnje je

$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\;a\neq 0.$

Viètove formule za polinom stopnje 3 z ničlami$\alpha _{1},\alpha _{2}$in$\alpha _{3}$se glasijo:

${\begin{aligned}&\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=-{\frac {b}{a}}\\&\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{3}={\frac {c}{a}}\\&\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=-{\frac {d}{a}}.\end{aligned}}$

Oglejmo si lahek zgled uporave Viètovih formul:

Naloga:Polinom$p$naj bopodan z$p(x):=x^{3}+2x^{2}+3x+4,$z$\alpha,\beta$in$\gamma$pa označimo njegove ničle. Ne da bi izračunal ničle polinoma$p$izračunaj vrednost izraza$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}.$

Rešitev:Izraz$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$je enak$(\alpha +\beta +\gamma )^{2}-2(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma ).$V njem opazimo Viètove formule za polinom$p$,ki so$\alpha +\beta +\gamma =-{\frac {a_{2}}{a_{3}}}=-{\frac {2}{1}}=-2,\;\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma ={\frac {a_{1}}{a_{3}}}={\frac {3}{1}}=3$in$\alpha \beta \gamma =(-1)^{3}{\frac {a_{0}}{a_{3}}}=-{\frac {4}{1}}=-4$.

Vidimo, da se produkt ničel ne ponavlja v našem izrazu, zato uporabimo samo prvi dve in dobimo

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=$$(\alpha +\beta +\gamma )^{2}-2(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )=(-2)^{2}-2\cdot 3=-2.$

Opomba: Če bi poskušali izračunati ničle zgoraj podanega polinoma$p$bi se zelo namučili.Osnovni izrek algebrenam zagotavlja obstoj treh kompleksnih ničel, ne vemo pa kako se jih izračuna. Ena izmed metod soCardanove formule,ki so zelo računsko zahtevne. S kakšnim spletnim programom za simbolno računanjem lahko pokažemo, da so ničle polinoma$p$:

${\begin{aligned}x_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{-2-{\frac {5^{\frac {2}{3}}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {6}}-7}}}+{\sqrt[{3}]{15{\sqrt {6}}-35}}}}\\x_{2}={\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{-4-{\frac {5^{\frac {2}{3}}(1-i{\sqrt {3}})}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {6}}-7}}}+(-1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{15{\sqrt {6}}-35}}}}\\x_{3}={\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{-4-{\frac {5^{\frac {2}{3}}(1+i{\sqrt {3}})}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {6}}-7}}}+(-1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{15{\sqrt {6}}-35}}}}.\end{aligned}}$

Opazimo, da nam Viètove formule dajo zelo lepo povezavo med ničlami in koeficienti polinoma. Pomislimo sedaj, kako bi preverili, da je$x_{1}+x_{2}+x_{3}$res enako$-2$,če ne bi poznali formul in bi se računanja lotili z izračunanimi ničlami.

Glej tudi

• Hornerjev algoritem
• algebrska enačba
• homogeni polinom
• monom