Zvezna funkcija

Zvézna fúnkcijaje vmatematikifunkcija,pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti.Grafzvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točkeadefiniramo zdefinicijo epsilon-delta,ki jo je vpeljalAugustin Louis Cauchy:

Funkcijafje v točkiazvezna, če za poljubno majhno pozitivno številoεobstaja pozitivno številoδ,tako da velja:

$|a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon \!\,.$

(Razlaga: če sexza manj kotδrazlikuje oda,potem sef(x)za manj kotεrazlikuje odf(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi zlimito funkcije:Funkcija je v točkiazvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\!\,.$

Zgledi

Zgledi zveznih funkcij:

• Vsakpolinomje povsod zvezna funkcija (vključno zlinearnoinkvadratno funkcijo). To pomeni, da se graf polinoma nikjer ne pretrga.
• Racionalna funkcijaje zvezna povsod, kjer je definirana. Opomba: Tu velja poseben poudarek na besedah »kjer je definirana«. Racionalna funkcija ni definirana vpolih,zato se graf v polih pretrga.
• Potenčnainkorenska funkcijasta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Eksponentnainlogaritemska funkcijasta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Trigonometrične funkcijeso zvezne povsod, kjer so definirane.

Graf funkcije signum

Za zgled nezveznosti si oglejmo funkcijosignum(funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1;&{\text{za}}&x<0\\0;&{\text{za}}&x=0\\1;&{\text{za}}&x>0\end{matrix}}\right.$

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.

Zgodovina

Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podalBernard Bolzanoleta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije$y=f(x)\,$upošteval, da neskončno majhni prirastek$\alpha \,$neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo$f(x+\alpha )-f(x)\,$odvisne spremenljivkey.(glej npr.Cours d'Analyse,str. 34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definicijiinfinitezimal(glejmikrozveznost). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah inenakomerno zveznostjoje prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih.Eduard Heineje pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralihJohanna Petra Gustava Lejeunea Dirichletaleta 1854.

Viri

• Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). »Bolzano and uniform continuity«.Historia Mathematica.Zv. 32, št. 3. str. 303–311.