Število

Podmnožicekompleksnih števil

Števíloje polegmnožiceinfunkcijeeden najpomembnejšihmatematičnihpojmov, s katerim se opisuje množino.

V vsakdanji rabi so najbolj znananaravna števila{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}, s katerimi štejemo. Skupnost vseh naravnih števil določa množico, ki se jo običajno označuje zN.Če se k tej množici pridruži šenegativna številain število0,se dobi množicocelih številZ.Količnikicelih števil soracionalna številaaliulomki,katerih množico se označi sQ.Če se vključi še vse neskončne in neponavljajoče decimalne zapise števil, se dobimorealna številaR.Tista realna števila, ki niso racionalna, soiracionalna.Realna števila se lahko naprej razširijo še nakompleksna številaC,s katerimi se lahko reši vsealgebrske enačbe.Vse rešitve algebrskih enačb, katerihkoeficientiso kompleksna števila, so spet kompleksna števila. Vsaka omenjena množica jepodmnožicanaslednje:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \!\,.$

Števila je treba odštevilk,ki so posebni znaki za predstavitev števil. Zapis števil kot nizštevkobravnavajoštevilski sistemi.

Zgodovina

Številke

Števila je treba razlikovati odštevilk,simbolov, ki predstavljajo števila. Egipčani so izumili prvi šifrirani številski sistem, Grki pa so svoje številčenje preslikali na jonsko in dorsko abecedo.Rimske številke, sistem, ki je uporabljal kombinacije črk iz rimske abecede, so ostale prevladujoče v Evropi do razširitveindijsko-arabskega številskega sistemaokoli poznega 14. stoletja. Indijsko-arabski številski sistem ostaja najpogosteje uporabljeni sistem za predstavitev številke v današnjem svetu.Ključ do učinkovitosti sistema je bil simbol zanič,ki so ga razvili starodavni indijski matematiki okoli leta 500 n.št.

Prva uporaba števil

Na kosteh in drugih artefaktih so odkrili izrezane oznake, za katere mnogi verjamejo, da naj pomenile neke vrste štetja.Ti številski znaki so bili morda uporabljeni za štetje pretečenega časa, na primer število dni, lunarnih ciklov ali vodenje evidenc o količinah, na primer živali.

Ti znaki ne poznajo pojma vrednosti pozicije (kot v sodobnemdesetiškemzapisu), kar omejuje njegovo predstavitev velikih števil. Kljub temu takšni sistemi štetja veljajo za prvo vrsto abstraktnega številskega sistema.

Prvi znani sistem z vrednostjo pozicije je bilmezopotamski šestdesetiški sistem(ok. 3400pr. n. št). Najstarejši znani desetiški sistem pa sega v leto 3100 pr. n. št vEgiptu.

Nič

Prva znana dokumentirana uporaba številaničsega v 628 n.št. Pojavila se je vBrāhmasphuṭasiddhānti,glavnem delu indijskega matematikaBrahmagupte.0 je obravnaval kot število in opisal operacije, ki ničlo vključujejo, vključno zdeljenjem.Do tedaj (7. stoletje) je koncept očitno dosegel Kambodžo kotkmerske številke,dokumentacija pa kaže, da se je zamisel kasneje razširila na Kitajsko in vislamski svet.

Številka 605 skmerskimi številkamiiz napisa iz leta 683 našega štetja. Zgodnja uporaba ničle kot decimalne številke.

BrahmaguptovaBrāhmasphuṭasiddhāntaje prva knjiga, ki omenja nič kot število, zato se ga običajno šteje za prvega, ki je oblikoval pojem nič. Podal je pravila uporabe ničle z negativnimi in pozitivnimi števili, na primer »nič plus pozitivno število je pozitivno število, negativno število plus nič pa negativno število.«Brāhmasphuṭasiddhāntaje najstarejše znano besedilo, ki nič obravnava kot samostojno število.

Uporabo 0 kot števila je treba razlikovati od njegove uporabe pomožnega znaka vmestnem zapisu števil(vrednost vsake števke v številu je odvisna od mesta te števke v številu). Veliko starodavnih besedil je uporabljalo 0.Babilonciso 0 uporabljali le kot pomožni znak (3. stoletje), prav takoMaji(1. stoletje).

Pred Brahmagupto so ničlo uporabljali tudi drugi, toda dokumentacija ni tako popolna, kot je vBrāhmasphuṭasiddhānti.

Zapisi kažejo, dastari Grkiniso bili prepričani o statusu 0 kot številu: spraševali so se »kako je lahko 'nič' nekaj?«. To je vodilo do zanimivihfilozofskihin, do srednjeveškega obdobja, verskih argumentov o naravi in obstoju 0 invakuumu.ParadoksiZenona iz Elejeso deloma odvisni od nezanesljive interpretacije 0. (Stari Grki so se celo spraševali, če je 1 število.)

IzumrliOlmekiv južno-osrednji Mehiki so v Novem svetu začeli uporabljati simbol za ničlo (simbol školjke) verjetno v4. stoletju pr. n. št.,vsekakor pa do leta 40. pr. n. št., ko je postal sestavni delmajevskih številinnjihovega koledarja.Aritmetika Majev uporablja osnovo 4 in osnovo 5, majevski sistem je bildvajsetiškiali vigezimalni; uporabljali so namreč dvajset števk (od 0 do 19), mestne vrednosti števil pa so bile potence števila 20, naraščajoče od spodaj navzgor, kajti Maji so običajno pisali v kolonah, od zgoraj navzdol in od leve proti desni.To jim je omogočalo zapisati zelo velika števila, kar je prišlo prav pri obvladovanju astronomije in koledarja.George I. Sánchezje leta 1961 poročal o osnovi 4 in 5.

Do leta 130 jePtolomaj,pod vplivomHiparhain Babiloncev, uporabljal simbol za 0 (majhen krog z nadpisano črto) všesdesetiškem številskem sistemu,ki je sicer uporabljal abecednegrške številke.V poznejšihbizantinskihrokopisih njegoveSyntaxis Mathematica(Almagest) se je helenistična ničla prelevila vgrško črkoomikron(drugače ta črka pomeni 70).

Prava ničla je bila uporabljena tudi v tabelah skupaj zrimskimi številkamido leta 525 (prva znana uporabaDionizija Exiguusa), vendar kot beseda,nullapomeninič,in ne kot le simbol. Ko pri deljenju pride do ostanka 0, so uporabilinihil,kar prav tako pomeninič.

Negativna števila

Abstraktni konceptnegativnih številje bil na Kitajskem poznan že v letih 100–50 pr. n. št.

Racionalna števila

Verjetno je, da koncept delnih števil izvira izprazgodovine.Stari Egipčaniso za racionalna števila v matematičnih besedilih uporabljali svojegipčanski ulomek,kot staRhindov matematični papirusinKahunov papirus.Klasični grški in indijski matematiki so preučevali teorijo racionalnih števil v okviru študijeteorije števil.Najbolj znan med njimi soEvklidoviElementi,stari približno 300 let pr. n. št. Od indijskih besedil je najpomembnejšaSthananga Sutra,ki zajema tudi teorijo števil kot del splošne študije matematike.

Iracionalna števila

Najstarejša znana uporaba iracionalnih števil je bila vindijskihSulba sultrah,napisanihmed 800 in 500 pr. n. št.Prvi dokazi o obstoju iracionalnih števil se običajno pripisujejoPitagori,natančnejepitagorejcuHipasu,ki je dokazal (najverjetneje geometrične) iracionalnostkvadratnega korena števila 2.

Osnovna razvrstitev

Glej tudi:seznam vrst števil

Števila se lahko razvrsti vmnožice,imenovaneštevilski sistemi,kot sonaravnainrealna števila.Glavne kategorije števil so:

Glavni številski sistemi

$\mathbb {N}$	naravno	0, 1, 2, 3, 4, 5,... ali 1, 2, 3, 4, 5,... Uporablja se lahko$\mathbb {N} _{0}$ali$\mathbb {N} _{1}$.
$\mathbb {Z}$	celo	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
$\mathbb {Q}$	racionalno	a/bkjer staainbceli števili inbni enak 0
$\mathbb {R}$	realno	Meja konvergentnega zaporedja racionalnih števil
$\mathbb {C}$	kompleksno	a+bikjer staainbrealni števili,ije kvadratni koren od −1

Naravna števila

Naravna števila, začenši z 1

Najbolj običajna števila sonaravna števila:1, 2, 3 itd. Tradicionalno se je zaporedje naravnih števil začelo z 1 (0 pristarih Grkihsploh ni veljalo za število). Vendar pa so v 19. stoletjuteoretiki množicin drugi matematik začeli vključevati 0 (kardinalnostprazne množice,tj. 0 elementov, kjer je 0 torej najmanjšekardinalno število) v množici naravnih števil.Sedaj matematiki uporabljajo ta izraz za opis obeh množic, z 0 ali brez.Matematični simbolza množico vseh naravnih števil jeN,zapisan tudi z$\mathbb {N}$,včasih$\mathbb {N} _{0}$ali$\mathbb {N} _{1}$ko je treba navesti, ali naj se množica začne z 0 oziroma 1.

Vdesetiškem številskem sistemu,ki je sedaj skoraj univerzalen za matematične operacije, so simboli za naravna števila zapisani z desetimištevkami:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9.Osnovaje število unikatnih števk, vključno z ničlo, ki jih številski sistem uporablja za predstavitev števil (za desetiški sistem je osnova 10). V tej osnovi 10, ima skrajna desna števka naravnega številamesto vrednosti1, vsaka naslednja števka pa ima vrednost desetkrat večjo od mesta vrednosti števke na desni.

Vteoriji množic,ki lahko deluje kot aksiomatski temelj sodobne matematike,se naravna števila lahko predstavijo z razredi enakovrednih množic. Na primer število 3 se lahko predstavi kot razred vseh množic, ki imajo natanko tri elemente. VPeanovi aritmetikije število 3 predstavljeno kot sss0, kjer je s operacija »naslednik« (tj. 3 je tretji naslednik od 0).

Cela števila

Negativno številoje opredeljeno kot število, ki se sešteje v 0, ko se mu prištejenasprotnopozitivno število. Negativna števila so običajno napisana z negativnim predznakom (znak minus). Npr. negativno od 7 je napisano −7 in7 + (−7) = 0.Ko jemnožicanegativnih števil kombinirana z množico naravnih števil (vključno z 0), je rezultat definiran kot množicacelih števil,Zzapisano tudi kot$\mathbb {Z}$.Črka Z prihaja iznemškeZahl'številka'. Množica celih števil tvorikolobarzoperacijamiseštevanjainmnoženja.

Naravna števila tvorijopodmnožicocelih števil. Ker ne obstaja skupni standard za vključitev ali nevključitev ničle med naravna števila, se naravna števila brez ničle običajno imenujejopozitivna cela števila,naravna števila z ničlo panenegativna cela števila.

Racionalna števila

Racionalna števila (ℚ) so vključena vrealna števila(ℝ), sama pa vključujejocela števila(ℤ), ki posledično vključujejo tudinaravna števila(ℕ)

Racionalno število je število, ki se ga lahko izrazi kotulomeks celoštevilskim števcem in pozitivnim celoštevilskim imenovalcem. Negativni imenovalci so dovoljeni, vendar se jih običajno izogiba. Ulomki so zapisani kot dve celi števili, števec in imenovalec, z ločilno črto med njima. Ulomekm/nse zapiše v obliki količnika (kvocienta):mdoloča število delov celote,npove na koliko delov je razdeljena celota. Dva različna ulomka lahko ustrezata istemu racionalnemu številu; na primer1/22/4sta enaka, tako da je:

${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}\!\,.$

Na splošno,

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$le tedaj, ko je${a\times d}={c\times b}\!\,.$

Če jeabsolutna vrednostmvečja odn(ta naj bi bila pozitivna), je absolutna vrednost ulomka večja od 1. Ulomki so lahko večji, manjši ali enaki 1 in so lahko pozitivni, negativni ali 0. Množica vseh racionalnih števil vključuje cela števila, saj je vsako celo število lahko zapisano kot ulomek z imenovanikom 1. Na primer −7 se lahko zapiše−7/1.Simbol za racionalna števila jeQ(quotient), zapisano tudi kot$\mathbb {Q} \!\,$.

Realna števila

Realna številase lahko razumejo kottočkena neskončno dolgištevilski premici

Simbol za realna števila jeR,zapisan tudi kot$\mathbb {R} \!\,$.Množica realnih števil je množica vseh neskončnih decimalnih števil.Vsako realno število ustrezatočkinaštevilski premici.Naslednji odstavek se bo osredotočal predvsem na pozitivna realna števila. Obravnava negativnih realnih števil je glede na splošna aritmetična pravila preprosto predpona ustrezne pozitivne številke zznakom minus,npr. −123.456.

Večino realnih števil je mogoče izraziti le spribližkidecimalnegaštevila, pri katerih jedecimalna vejicapostavljena desno od števke z vrednostjo mesta 1. Vsaka števka desno od decimalne vejice ima vrednost, ki je ena desetina vrednosti števke na njeni levi. Na primer, 123,456 predstavlja123456/1000ali z besedami, ena stotica, dve desetici, tri enice, štiri desetinke, pet stotink, in šest tisočink. Realno število je lahko izraženo s končnim številom decimalk le, če je racionalno in je njegov imenovalec deljiv z 2 ali 5 ali obema, ker sta to praštevili od 10, osnove desetiškega sistema. Tako je na primer ena polovica 0,5, ena petina 0,2, ena desetina 0,1 in ena petdesetina 0,02. Za predstavitev drugih realnih števil kot decimalk bi bilo potrebno neskončno zaporedje števk desno od decimalne vejice. Če to neskončno zaporedje števk sledi vzorcu, se ga lahko zapiše s tremi pikami ali drugim zapisom, ki označuje ponavljajoči se vzorec. Taka decimalka se imenujeponavljajoča se decimalka.Tako se lahko1/3zapiše kot 0,333..., s tremi pikami, ki označujejo, da se vzorec nadaljuje. Za vedno ponavljajoče se 3 (trojke) so zapisane tudi kot 0,3.

Izkazalo se je, da te ponavljajoče se decimalke (vključno s ponavljanjem ničel) natančno označujejo racionalna števila, torej so vsa racionalna števila tudi realna števila, ni pa res, da je vsako realno število racionalno. Realno število, ki ni racionalno, se imenujeiracionalno.Znano iracionalno realno število je številopi,razmerje medobsegomkrogain njegovimpremerom.Ko je$\pi \!\,$zapisan kot:

$\pi =3,14159265358979\dots \!\,,$

tri pike ne pomenijo, da se decimalke ponavljajo, ampak da jim ni konca. Dokazano je, da je$\pi \!\,$iracionalno število. Drugo dobro znano število, ki se je izkazalo za iracionalno realno število, je

${\sqrt {2}}=1,41421356237\dots \!\,,$

kvadratni koren števila 2,to je edinstveno pozitivno realno število, kipomnoženosamo s seboj, danaravno število2.Obema številoma so računalniško izračunali približek z bilijonom(1 bilijon = 10¹²= 1.000.000.000.000)števk.

Ne samo ta dva vidnejša primera, ampak skoraj vsa realna števila so iracionalna in zato nimajo ponavljajočih se vzorcev in posledično nimajo ustreznih decimalnih števk. Uporaba natančnih vrednosti iracionalnih števil je v praksi nemogoča, zato namesto njih uporabljamo približke, iracionalno število se zaokroži na določeno število decimalk. Vse meritve so po svoji naravi približki in kadar se iracionalno število zamenja z njegovim približkom, se naredi napako.Tako 123,456 velja za približek katerega koli realnega števila, ki je večje ali enako1234555/10000in manjše kot1234565/10000(zaokroženona 3 decimalke) ali poljubno realno število, večje ali enako123456/1000in manjše kot123457/1000(krajšanjepo 3. decimalki).

Kompleksna števila

Kompleksno število se lahko vizualno predstavi kot par števil(a, b),ki oblikujetavektorvArgandovem diagramuin tako ponazarjatakompleksno ravnino.»Re« je realna os, »Im« je imaginarna os inijeimaginarna enotaza katero veljai²= −1.

Če se preide na višjo stopnjo abstrakcije, se lahko realna števila razširi nakompleksna števila.Ta množica števil je zgodovinsko nastala zaradi poskusov iskanja korenovpolinomovtretje inčetrtestopnje. To je privedlo do izrazov, ki vključujejo kvadratne korene negativnih števil, in sčasoma do definicije novega števila:kvadratnega korenaštevila −1, označenega zi,simbolom, ki ga je dodelilLeonhard Eulerin se imenujeimaginarna enota.Kompleksna števila so sestavljena iz vseh števil formule:

$\,a+bi\!\,,$

kjer staainbrealni števili. Zaradi tega se lahko kompleksna števila predstavi kot točke vkompleksni ravnini,vektorskem prostorudveh realnihrazsežnosti.V izrazua+bise realno številoaimenujerealna komponenta,bpaimaginarna komponentakompleksnega števila. Če sta realna in imaginarna komponenta kompleksnega števila celi števili, se to število imenujeGaussovo celo število.Simbol za kompleksna števila jeCali$\mathbb {C} \!\,$.

Podrazredi celih števil

Soda in liha števila

Sodo številoje celo število, ki je "deljivo" s številom 2 brez ostanka;liho številoje celo število, ki ni sodo. Soda števila imenujemo tudiparnaštevila, liha paneparnaštevila.Vsako liho številonje mogoče sestaviti s formulon= 2k+ 1,kjer jekcelo število. Začenši sk= 0,so prva nenegativna liha števila {1, 3, 5, 7,... }. Vsako sodo številomima oblikom= 2k,kjer jekzopetcelo število.Podobno so prva nenegativna soda števila {0, 2, 4, 6,... }.

Praštevila

Prašteviloje celo število večje od 1, ki ni produkt dveh manjših pozitivnih celih števil. Prvih nekaj osnovnih praštevil je 2, 3, 5, 7 in 11. Ne obstaja preprosta formula, tako kot obstaja za liha in soda števila, ki bi zgenerirala praštevila. Praštevila preučujejo že več kot 2000 let in so privedla do številnih vprašanj na nekatera je bilo nekaj odgovorjenih. Proučevanje teh vprašanj spada vteorijo števil.Goldbachova domnevaje zgled še vedno neodgovorjenega vprašanja: "Ali se vsako sodo število zapiše kot vsota dveh praštevil?"

Drugi razredi celih števil

Mnoge podmnožice naravnih števil so bile predmet posebnih študij in so bile poimenovane, pogosto po prvem matematiku, ki jih je preučeval. Primer takšnih množic celih števil soFibonaccijeva številainpopolna števila.Za več primerov glejceloštevilsko zaporedje.

Podrazredi kompleksnih števil

Algebrska, iracionalna in transcendentalna števila

Algebrska številaso tista, ki so rešitev polinomske enačbe s celoštevilskimi koeficienti. Realna števila, ki niso racionalna števila, se imenujejoiracionalna števila.Kompleksna števila, ki niso algebrska, se imenujejotranscendentalna števila.

Konstruktibilna števila

Konstruktibilna številaso števila, ki se jih lahko nariše le z ravnilom in šestilom. So tista kompleksna števila, katerih realne in imaginarne komponente je mogoče sestaviti z ravnilom in šestilom, začenši z dano enote dolžine, v končnem številu korakov.

Izračunljivo število

Izračunljivo število,znano tudi kotrekurzivno število,jerealno število.Obstajaalgoritem,ki ob danem pozitivnem vhodnem številunustvari prvihnštevk decimalk izračunljivega števila. Ekvivalentne definicije se lahko podajo z uporaboμ-rekurzivnih funkcij,Turingovih strojevaliλ-analizekot formalne predstavitve algoritmov.

Razširitve

Nov razvoj je prineselhiperrealna številainsurrealna števila,ki razširijo realna števila z dodajanjem neskončno majhnih in neskončno velikih števil.

Namesto poljubno neskončno dolgih decimalnih zapisov desno zadecimalno vejico,ki vodijo od racionalnih do realnih števil, se lahko dopusti neskončne decimalne zapise levo od decimalne vejice, kar pripelje dop-adičnih števil.

Ordinalna številainkardinalna številaso posplošitev naravnih števil za merjenje velikosti neskončnih množic.

Aritmetične operacije,kot stadvočleni operacijiseštevanjainmnoženja,se posploši vmatematičnivejiabstraktne algebre.S tem se dobialgebrske strukturegrupo,kolobarinobseg.

Glej tudi

• seznam števil
• imena števil
• tabela prafaktorjev števil
• slovnično število
• števnik