Oktonion

Októnion(tudi Cayleyjevo število, Cayleyjev oktonion ali oktava) (oznaka množice oktonionov$\mathbb {O} \,$) je neasociativna razširitevkvaternionov.Oktonioni tvorijo 8 razsežnoalgebronadrealnimi števili.Obstajajo štiri takšnealgebre:to so algebrakvaternionov($\mathbb {H} \,$),kompleksnih($\mathbb {C} \,$) in realnih števil ($\mathbb {R} \,$).

Zgodovina

Oktonione je odkril leta1843irski matematik in pravnikJohn Thomas Graves(1806–1870).

Neodvisno jih je odkril tudi britanski matematikArthur Cayley(1821–1895). Posledično oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila oziroma Cayleyjevi oktonioni.

Definicija

Oktonione si lahko predstavljamo kot oktete realnih števil. Vsak oktonion jelinearna kombinacijaenotskih oktonionov$\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\}\,$,kjer je$e_{0}\,$skalar.To pomeni, da se vsak oktonion lahko zapiše kot:

$x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}\!\,,$

kjer so:

• $x_{i}\,$realni koeficienti.

Oktonioni se seštevajo enako kot kompleksna števila.

Množenje oktonionov je dano z naslednjo tabelo za enotski oktonion.

e0	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	-1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6
e2	−e3	-1	e1	e6	e7	−e4	−e5
e3	e2	−e1	-1	e7	−e6	e5	−e4
e4	−e5	−e6	−e7	-1	e1	e2	e3
e5	e4	−e7	e6	−e1	-1	−e3	e2
e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	-1	−e1
e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	-1

Množenje Cayleyjevih oktonionov

Vrednosti so antisimetrične okoli diagonale z vrednostmi -1.

Pogosto namesto številk uporabljamo črke:

število	1	2	3	4	5	6	7
črka	i	j	k	l	il	jl	kl
drugi znak	i	j	k	l	m	n	o

Cayley-Dicksonova konstrukcija

Uporablja se za definiranje oktonionov. Podobno kot se kvaternioni definirajo kot pari kompleksnih števil, se tudi oktonioni definirajo kot pari kvaternionov. Produkt dveh kvaternionov$(a,b)\,$in$(c,d)\,$je določen z:

$\ (a,b)(c,d)=(ac-db^{*},da+bc^{*})$,

kjer

• $z^{*}\,$pomeni konjugirano vrednost kvaterniona z.

To je enakovredno, kot da osem enotskih oktonionov definiramo kot pare

(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k).

Konjugirani oktonion, norma in obratna vrednost

Konjugirana vrednost oktoniona:

$x=x_{0}+x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}\!\,$

je enaka:

$x^{*}=x_{0}-x_{1}\,e_{1}-x_{2}\,e_{2}-x_{3}\,e_{3}-x_{4}\,e_{4}-x_{5}\,e_{5}-x_{6}\,e_{6}-x_{7}\,e_{7}\!\,.$

Normaoktoniona je:

$\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}\!\,.$

Obstoj norme pogojuje obstojobratnega elementaza vsak neničeln element. Obratni element za vsakx≠ 0 je dan z:

$x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}\!\,.$

Velja pa tudi x x⁻¹= x⁻¹x = 1.

Preprostmnemonični sistemza določanje produktov enotskih oktonionov.

Fanova ravnina

S pomočjo diagrama na desni lahko na enostaven način določamo produkte enotskih oktonionov. Ravnina s sedmimi točkami in sedmimi povezavami se imenujeFanova ravnina,ki se imenuje po italijanskem matematikuGinu Fanu(1871–1952). Povezave so usmerjene. Ravnina ima 7 točk in 7 povezav. Na vsaki povezavi so tri točke. Krožnica preko točk 1, 2 in 3 je enakovredna ravni povezavi. S pomočjo tabele produktov si lahko sestavimo pravila za množenje enotskih oktonionov.

Značilnosti oktonionov

• Oktonioni nisokomutativni

$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\neq e_{j}e_{i}\,$

• Oktonioni nisoasociativni

$(e_{i}e_{j})e_{l}=-e_{i}(e_{j}e_{l})\neq e_{i}(e_{j}e_{l})\,$

• Oktonioni zadoščajo šibkejši obliki asociativnosti. Tvorijo tako imenovanoalternativno algebro.To pomeni, da je vsakapodalgebra,zgrajena s poljubnima dvema elementoma, asociativna.
• Oktonioni imajo pomembno lastnost, in sicer zanje velja$\|xy\|=\|x\|\|y\|$.To pomeni, da oktonioni tvorijonormirano algebro z deljenjem.

Zunanje povezave

• Oktonioni(angleško)
• OktonioninaMathWorld(angleško)
• Oktonionske matrikeArhivirano2011-05-15 naWayback Machine.(angleško)