relasjon (matematikk)

Relasjon er innenmatematikket forhold mellom to (eller flere) matematiske objekter. Relasjoner spiller en viktig rolle innen alle områder av matematikken. Noen eksempler på enkle relasjoner som brukes i forbindelse med tall er «større enn», «mindre enn» og «er lik». For eksempel betyr \(a > b\) at tallet \(a\) er større enn tallet \(b\).

Noen eksempler på viktige relasjoner innenmengdelæreer «er delmengde av», som uttrykkes ved symbolet \(\subseteq\), og «er element i», som uttrykkes ved symbolet \(\in\).

Alle de ovennevnte relasjonene sier noe om forholdet mellomtoobjekter. Dette kallesbinærerelasjoner. En binær relasjon \(R\) er fullstendig bestemt når man vet hvilke par \((a,b)\) av objekter \(a\) og \(b\) den stemmer for, og den kan derfor uttrykkes som mengden av alle de parene \((a,b)\) der \(aRb\) gjelder. \(aRb\) betyr her det samme som «\(a\) står i relasjon \(R\) til \(b\)». Dette kan vi også skrive som \(R(a,b)\). En binær relasjon \(R\) på en mengde \(M\) kan sees på som en delmengde avproduktmengden\(M \times M\), det vil si mengden av alle par \(a,b\) der \(a\in M\) og \(b \in M\) og der to par \(a_1, b_1\) og \(a_2,b_2\) ansees som identiske hvis \(a_1 = a_2 \) og \(b_1 = b_2\).

Binære relasjoner klassifiseres blant annet ved hjelp av følgende egenskaper:

1. \(R\) errefleksivhvis \(aRa\) for alle \(a \in M\)
2. \(R\) ersymmetriskhvis \(aRb\) medfører \(bRa\)
3. \(R\) ertransitivhvis \(aRb\) og \(bRc\) medfører \(aRc\)

En binær relasjon som har alle disse tre egenskapene, kalles enekvivalensrelasjon.Det enkleste eksempelet på en ekvivalensrelasjon er relasjonen «er lik».

En binær relasjon som er transitiv, refleksiv ogantisymmetrisk(det vil si at \(aRb\) og \(bRa\) impliserer \(a = b\)) kalles ofte en(partiell)ordningsrelasjon.En partiell ordning ertotaldersom det for alle \(a \in M\) og \(b\in M\) enten er slik at \(aRb\) eller \(bRa\).

Relasjoner mellom mer enn to objekter opptrer også. Et eksempel er relasjonen «\(x\) ligger mellom \(2\) og \(4\)».