Tangjentja

Tangjentja në një lakore. Vija e kuqe është tangjente me lakoren në pikën e kuqe.

Plani tangjent ndaj një sfere

Nëgjeometri,vija tangjente(ose thjeshttangjente) me njëkurbë tërrafshët në njëpikëtë caktuar është, intuitivisht,vija e drejtëqë "vetëm sa prek" kurbën në atë pikë.Lajbnicie përcaktoi atë si vijën përmes një çifti pikashpafundësisht të afërtanë kurbë.Më saktësisht, një drejtëz është tangjente me lakoren$y=f(x)$në një pikë$x=c$nëse drejtëza kalon nëpër pikën$(c,f(c))$në kurbë dhe ka pjerrësi$f'(c)$,ku$f'$ështëderivatii$f$.Një përkufizim i ngjashëm vlen përkthesat dhe kthesat e hapësirësnë hapësirën Euklidianen-dimensionale.

Pika ku takohen ose kryqëzohen drejtëza tangjente dhe kurba (lakorja) quhetpika e tangjencës.Drejtëza tangjente thuhet se "shkon në të njëjtin drejtim" si lakorja, dhe kështu është përafrimi më i mirë drejtvizor për lakoren në atë pikë. Drejtëza tangjente në një pikë në një lakore të diferencueshme mund të mendohet gjithashtu si njëpërafrim i vijës tangjente,grafiku i funksionit afin që përafron më mirë funksionin origjinal në pikën e caktuar.

Në mënyrë të ngjashme,rrafshi tangjentme një sipërfaqe në një pikë të caktuar është rrafshi që "vetëm sa prek" sipërfaqen në atë pikë. Koncepti i një tangjente është një nga nocionet më themelore në gjeometrinë diferenciale dhe është përgjithësuar gjerësisht.

Fjala "tangjente" vjen ngalatinishtjatangere,"me prek".

Vija tangjente në një kurbë të rrafshët

Një tangjente (tangent), një kordë (chord) dhe një sekant (secant) në një rreth

Nocioni intuitiv se një vijë tangjente "prek" një kurbë mund të bëhet më i qartë duke marrë parasysh vargun e drejtëzave ( vijat sekante ) që kalojnë nëpër dy pika,AdheB,ato që shtrihen në kurbën e funksionit. Tangjentja nëAështë kufiri kur pikaBpërafrohet ose tenton drejtA.Ekzistenca dhe uniciteti i vijës tangjente varet nga një lloj i caktuar i lëmimit matematikor.

Në shumicën e pikave, tangjentja e prek kurbën pa e kryqëzuar atë (megjithëse, kur zgjatet në rrafsh, mund të kalojë kurbën në vende të tjera larg nga pika e tangjentes). Një pikë ku tangjentja (në këtë pikë) kalon kurbën quhetpikë e infleksionit.Rrathët,parabolat,hiperbolat dheelipsetnuk kanë asnjë pikë infleksioni, por lakoret më të ndërlikuara kanë, si grafiku i një funksioni kubik, i cili ka saktësisht një pikë lakimi, ose një sinusoid, i cili ka dy pika lakimi për çdo periodë të sinusit.

Qasje analitike

Në çdo pikë, vija lëvizëse është gjithmonë tangjente mekurbën.Pjerrësia e saj ështëderivati;shenjat jeshile derivati pozitiv, shenjat e kuqe derivati negativ dhe shenjat e zeza derivati zero. Pika (x,y) = (0,1) ku tangjentja kryqëzon kurbën, nuk është max, ose min, por është një pikë lakimi. (Shënim: figura përmban etiketimin e gabuar të 0,0 që duhet të jetë 0,1)

Përshkrimi intuitiv

Supozojmë se një kurbë është dhënë si grafik i njëfunksioni,$y=f(x)$.Për të gjetur drejtëzën tangjente në pikën$p=(a,f(a))$,merrni parasysh një pikë tjetër të afërt$q=(a+h,f(a+h))$në kurbë. Pjerrësia e vijës sekante që kalon nëpërpdheqështë e barabartë me herësin e diferencës

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Ndërsa pikaqi afrohetp(pra e rrëshkasim q në vijë duke iu afruar p), e cila korrespondon me zvogëlimine h-së, herësi i diferencës duhet t'i afrohet një vlere të caktuark,e cila është pjerrësia e vijës tangjente në pikënp.Nësekdihet, ekuacioni i drejtëzës tangjente mund të gjendet në formën e pjerrësisë:

$y-f(a)=k(x-a).\,$

Si mund të dështojë metoda

Llogaritja tregon gjithashtu se ka funksione dhe pika në grafikët e tyre për të cilat kufiri që përcakton pjerrësinë e vijës tangjente nuk ekziston. Për këto pika funksioni$f$ështëi padiferencueshëm.Ekzistojnë dy arsye të mundshme që metoda e gjetjes së tangjenteve bazuar në limite dhe derivate të dështojë: ose ekziston tangjentja gjeometrike, por ajo është një vijë vertikale, e cila nuk mund të jepet në formën e pjerrësisë pikë pasi nuk ka një pjerrësi, ose grafiku shfaq një nga tre sjelljet që përjashtojnë një tangjente gjeometrike.

Grafikuy=x^1/3ilustron mundësinë e parë: këtu herësi i diferencës nëa= 0 është i barabartë meh^1/3/h=h^−2/3,i cili bëhet shumë i madh kurhi afrohet 0. Kjo kurbë ka një vijë tangjente në origjinë që është vertikale.

Grafikuy=x^2/3ilustron një mundësi tjetër: ky grafik ka njëkuspënë origjinë. Kjo do të thotë se, kurhi afrohet zeros, herësi i diferencës nëa= 0 i afrohet$\pm \infty$në varësi të shenjës sëx.Kështu që të dy degët e lakores janë afër gjysmëdrejtëzës vertikale për të cilëny=0, por asnjë nuk është afër pjesës negative të kësaj drejtëze. Në thelb, nuk ka asnjë tangjente në origjinë në këtë rast, por në një kontekst mund ta konsiderojmë këtë vijë si një tangjente, dhe madje, në gjeometrinë algjebrike, si njëtangjente të dyfishtë.

Grafiku$y=|x|$i funksionittë vlerës absolutepërbëhet nga dy vija të drejta me pjerrësi të ndryshme të bashkuara në origjinë. Ndërsa një pikëqi afrohet origjinës nga e djathta, vija sekante ka gjithmonë pjerrësi 1. Ndërsa një pikëqi afrohet origjinës nga e majta, vija sekante ka gjithmonë pjerrësi −1. Prandaj, nuk ka asnjë tangjente unike me grafikun në origjinë. Të kesh dy pjerrësi të ndryshme (por të fundme) quhetqoshe.