Математичка анализа

Математичка анализа(старогрчкиανάλυσις,análysis,решење) је областматематикекоја између осталог проучаваграничне вредности,интеграле, изводе и редове. Област се помиње и под именимавиша математика,инфинитезимални рачун,а у енглеској литератури као „Калкулус “(енгл.Calculus). То је веома широка област математике и предмет је вишегодишњих студија на факултетима.^[3]^[4]

У принципу, дели се на два дела:диференцијалнииинтегралнирачун. Проучавање бесконачнихредоваианалитичких функцијатакође спада у домен аналитичке математике.

Историјски развој[уреди|уреди извор]

Диференцијални рачун[уреди|уреди извор]

Диференцијални рачунидиференцирањепроучавају промене функција реалних променљивих при променама независневаријабле,тј. независнепроменљиве.Полази се од проблема налажења тангенте на криву, који је први објавиоИсак Бароу(Isaac Barrow: Lectiones geometricae,1670).Исак Њутн(Isaac Newton) је открио метод (1665—1666) и сугерисао Исаку Бароу, свом професору математике, да методу укључи у уџбеник. У својој првобитној теорији, Њутн је посматрао функцију као променљиву, флуентну количину, и разлику, или износ промене, назвао флукс (fluxion). Дефинисао је нагиб криве у тачки као прираштајтангентена ту криву у малој околини дате тачке. Данас веома познатубиномну теоремуЊутн је применио да нађе гранични случај, што значи да је диференцијални рачун Њутну био потребан за бесконачненизове.Употребио је ознаке икс, односно ипсилон са тачком изнад ( ${\dot {x}},{\dot {y}}$ ) за флукс, и исто са две тачке изнад ( ${\ddot {x}},{\ddot {y}}$ ) за флукс флукса. Тако, ако је $x=f(t)$ ,где је t време потребно телу да би се прешло пут х, тада је флукс икса тренутна брзина, а флукс флукса је тренутно убрзање.Лајбниц(Leibniz) је такође открио исту методу 1676. године, објавио је 1684. Њутн је није објавио све до 1687. (уPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica,Математички принципи природне филозофије). Зато се развила горка расправа око приоритета открића. Заправо, данас је познато, обојица су дошли до истог открића независно један од другог. Савремена нотација дугује Лајбицу dy/dx и издужено S (од „сума “) заинтеграл.

Интегрални рачун[уреди|уреди извор]

Интегрални рачуниинтеграцијакористе се за израчунавањеповршина,запреминатела,дужина криве,тежишта,момента инерције.Вуче корене још одЕудокса Книдског(Eudoxus of Cnidus,408-347. п. н. е.), грчкогастрономаиматематичара,и његове методе „исцрпљивања “из периода око 360. п. н. е.Архимедје у свом делу „Метода“развио начин налажења површина ограничених кривама, разматрајући их подељене многобројним паралелним линијама и проширио идеју на налажење запремина неких тела. Због тога га неки називају оцем интегралног рачуна.

Почетком 17. века, поново се појавио интерес за мерење запремина интегралном методом.^[5]Кеплерје користио процедуре налажења запремина тела узимајући их као композицију бесконачног скупа инфинитезимално (бесконачно) малих елемената (Stereometrija doliorum, Мерење запремина буради, 1615). Ове идеје је поопштиоКавалијери(Cavalieri) у свом делуGeometria indivisibilibus continuorum nova(1635), у којем је употребио идеју да се површина састоји из недељивих линија, а запремина од недељивих површина. То је данас познатиКавалијеријев принцип,а такође то је био и концепт Архимедове методе.Џон Валису свом делу Бесконачна аритметика (John Wallis, Arithmetica ifinitorum,1655) је аритметизовао Кавалијерове идеје. У том раздобљу су инфинитезималне методе интензивно кориштене за тражење дужина кривих и површина.

Савремена математика[уреди|уреди извор]

Негде у данашње време, интеграција се почела тумачити једноставно као операција инверзна диференцирању.Коши(Cauchy) је 1820-их диференцијални и интегрални рачун поставио на сигурније основе заснивајући их налимесу.Диференцирањеје дефинисао као граничну вредност количника, аинтегрирањекао граничну вредност збира. Дефиницију интеграла помоћу граничне вредности уопштио јеРиман(Riemann).

У двадесетом веку, схватање интеграла је проширено. У почетку, интегрирање се односило на елементарну идеју мерења (мерењедужина,површина,запремина) санепрекидним функцијама.Са појавомтеорије скупова,функције су се почеле третирати каопресликавања,не обавезно непрекидна, и појавило се општије и апстрактније схватање мере.Лебег(Lebesgue) је објавио дефиницију интегрирања засновану наЛебеговој мери скупа.Појавио сеЛебегов интеграл.

Теорије математичке анализе се обично проучавају у контекстуреалних бројева,комплексних бројева,и реалних и комплекснихфункција.Међутим, оне се могу дефинисати и проучавати у било ком другом простору математичких објеката, који има дефинисанублизину(тополошки простор) или специфичнијераздаљину(метрички простор).

Важни концепти[уреди|уреди извор]

Метрички простори[уреди|уреди извор]

Уматематици,метрички просторјескупгде је појамрастојања(званиметрика) између елемената скупа дефинисан.

Највећи део анализе се одвија у неком метричком простору; најшире коришћени суреална линија,комплексна раван,Еуклидов простор,другивекторски простори,ицели бројеви.Примери анализе без метрика обухватајутеорију мера(која описује величину, а не растојање) ифункционалну анализу(која изучаватополошке векторске просторекоји не морају да имају никакав осећај за даљину).

Формално, метрички простор јеуређени пар $(M,d)$ ,где је $M$ скуп, а $d$ јеметрикана $M$ ,i.e.,функција

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

таква да за свако $x,y,z\in M$ важи следеће:

$d(x,y)=0$ ако и само ако $x=y$ ,
$d(x,y)=d(y,x)$ (симетрија) и
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (неједнакост троугла).

Полазећи од трећег својства и узимајући да је $z=x$ ,може се показати да је $d(x,y)\geq 0$ (не-негативно).

Низови и лимити[уреди|уреди извор]

Низје уређена листа. Попутскупа,он садржичланове(који се називају иелементи). За разлику од скупа, друге ствари, и исти елементи могу да се појаве више пута на различитим позицијама у низу. Низ се најпрецизније може дефинисати каофункцијачији домен јепребројив тотално уређенскуп, као што суприродни бројеви.

Један од најважнијих својстава низа јеконвергенција.Неформално, низ конвергира ако ималимит.Настављајући информално, (појединачно-бесконачно) низ има лимит ако се приближава некој тачкиx,званој лимит, кадnпостане веома велико. Другим речима, за један апстрактни низ (a_n) (саnу подразумеваном опсегу од 1 до бесконачности) растојање измеђуa_nиxсе приближава 0 кадn→ ∞, што се означава са

\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.

Главне области[уреди|уреди извор]

Математичку анализу чине следеће области:

Реална анализа[уреди|уреди извор]

Реална анализа(традиционално,теорија функција реалних вредности) је грана математичке анализе која се бавиреалним бројевимаи реално-вредносним функцијама реалних променљивих.^[6]^[7]Специфично, она се бави аналитичким својствима реалнихфункцијаинизова,укључујућиконвергенцијуилимите низовареалних бројева,калкулусреалних бројева, инепрекидност,глаткости сродна својства функција реалних вредности.

Комплексна анализа[уреди|уреди извор]

Комплексна анализа,традиционално позната каотеорија функција комплексних променљивих,је грана математичке анализе која истражујефункције комплексних бројева.^[8]То је корисно у многим гранама математике, укључујућиалгебарску геометрију,теорију бројева,примењену математику;као и уфизици,укључујућихидродинамику,термодинамику,машинство,електротехнику,и посебно,квантну теорију поља.

Комплексном анализом се специфично обухватајуаналитичке функцијекомплексних променљивих (или генералномероморфне функције). Због тога што засебниреалнииимагинарниделови аналитичке функције морају да задовољеЛапласову једначину,комплексна анализа је широко применљива на дводимензионе проблеме уфизици.

Функционална анализа[уреди|уреди извор]

Функционална анализаје грана математичке анализе, у чијој основи је изучавањевекторских простораобогаћено неком врстом структуре везане за лимите (нпр.унутрашњи производ,норма,топологија,etc.) илинеарним операторимакоји делују на тим просторима поштујући ове структуре у одговарајућем смислу.^[9]^[10]Историјски корени функционалне анализе леже у студијамафункционих простораи формулисању својстава трансформација функција попутФуријеове трансформације,као трансформација којима се дефинишуконтинуирани,унитарнии други оператори између функцијских простора. Испоставило се да је ова тачка гледишта посебно корисна при студирањудиференцијалнихиинтегралних једначина.

Диференцијалне једначине[уреди|уреди извор]

Диференцијална једначинајематематичка једначиназа једну непознатуфункцијуса једном или неколикопроменљивихкоја повезује вредности саме функције и њенихизводаразнихредова.^[11]^[12]^[13]Диференцијалне једначине играју проминентну улогу уинжењерству,физици,економији,биологији,и другим дисциплинама.

Диференцијалне једначине се јављају у многим областима науке и технологије, специфично кад годдетерминистичкарелација обухвата неке од непрекидно варирајућих квантитета (моделованих функцијама) и кад су њихове брзине промене у простору и времену (изражене у виду деривата) познате или постулиране. Ово је илустровано укласичној механици,где је кретање тела описано његовом позицијом и брзином као функција времена.Њутнови закониомогућавају изражавање (дате позиције, брзине, убрзања и разних сила које делују на тело) тих променљивих динамички у виду диференцијалне једначине за непознату позицију тела као функције времена. У неким случајевима, ова диференцијална једначина (званаједначина кретања) може да буде експлицитно решена.

Теорија мера[уреди|уреди извор]

Меранаскупује систематски начин додељивања броја сваком подесномподскупудатог скупа, интуитивно интерпретирана као његова величина.^[14]У том смислу, мера је генерализација концепата дужине, површине и запремине. Посебно важан пример јеЛебегова меранаЕуклидовом простору,којом се додељују конвенцијалнедужине,површине,изапремине Еуклидове геометријеподесним подскуповима $n$ -димензионог Еуклидовог простора $\mathbb {R} ^{n}$ .На пример, Лебегова мераинтервала $\left[0,1\right]$ уреалним бројевимаје њена дужина у свакодневном смислу речи – специфично, 1.

Технички, мера је функција која додељује ненегативни реални број или+∞(извесним) подскуповима скупа $X$ .Она мора да додели 0празном скупуи да буде (пребројиво) адитивна: мера 'великог' подскупа која се може разложити у коначни (или пребројиви) број 'мањих' раздвојених подскупова, је сума мера „мањих” подскупова. Генерално, ако се жели да се асоцираконзистентнавеличина сасвакимподскупом датог скупа уз задовољавање других аксиома мере, могу се наћи само тривијални примери као што је пребројавајућа мера. Ова проблем је био решен путем дефинисања мере само на потколекцији свих подскупова; такозваниммерљивимпотскуповима, од којих се очекује да формирају $\sigma$ -алгебру.То значи да су пребројивејединице,пребројивипресециикомплементимерљивих потскупова мерљиви.Немерљиви скуповиу Еуклидовом простору, на којима се Лебегова мера не може конзистентно дефинисати, су неопходно компликовани у смислу да су помешани са својим комплементом. Њихово постојање је нетривијална последицааксиома избора.^[15]

Нумеричка анализа[уреди|уреди извор]

Нумеричка анализаје студијаалгоритамакоји користе нумеричкуапроксимацију(за разлику од општихсимболичких манипулација) за проблеме математичке анализе (што је различито оддискретне математике).^[16]Модерна нумеричка анализа не тражи прецизне одговоре, пошто је прецизне одговоре често немогуће добити у пракси. Уместо тога, највећи део нумеричке анализе се бави налажењем приближних решења уз задржавање грешака у разумним границама. Нумеричка анализа природно налази примене у свим пољима инжењерства и физичких наука. У 21. веку су бројни елементи научних прорачуна нашли примену у већини природних наука, па чак и грана уметности.Обичне диференцијалне једначинесе јављају унебеској механици(изучавању планета, звезда и галаксија);нумеричка линеарна алгебраје важна за анализу података;стохастичке диференцијалне једначинеиланци Маркова^[17]^[18]су есенцијални у симулирању живих ћелија у медицинским и биолошким истраживањима.^[19]^[20]^[21]^[22]

Референце[уреди|уреди извор]

^Ruelle, David; Takens, Floris (1971).„On the nature of turbulence”.Communications in Mathematical Physics.20(3): 167—192.doi:10.1007/bf01646553.
^D., Chekroun M.; Simonnet, E. & Ghil, M. (2011). „Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures”.Physica D.240(21): 1685—1700.doi:10.1016/j.physd.2011.06.005.
^Edwin Hewittand Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
^Stillwell, John Colin.„analysis | mathematics”.Encyclopædia Britannica.Приступљено31. 7. 2015.
^Jahnke 2003,стр. 7
^Rudin 1976.
^Abbott 2001.
^Ahlfors 1979.
^Rudin 1991.
^Conway 1994.
^Ince 1958
^Hurewicz 2002
^Evans 1998.
^Terence Tao,2011.An Introduction to Measure Theory.American Mathematical Society.
^Fraenkel, Abraham A.;Bar-Hillel, Yehoshua;Lévy, Azriel(1973),Foundations of set theory(2nd изд.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., стр. 69—70,ISBN 9780080887050,MR 0345816
^Hildebrand 1974.
^Gagniuc 2017,стр. 1–235
^„Markov chain | Definition of Markov chain in US English by Oxford Dictionaries”.Oxford Dictionaries | English.Архивирано изоригинала15. 12. 2017. г.Приступљено14. 12. 2017.
^Pratas, D; Silva, R; Pinho, A; Ferreira, P (18. 5. 2015).„An alignment-free method to find and visualise rearrangements between pairs of DNA sequences”.Scientific Reports (Group Nature).5(10203): 10203.Bibcode:2015NatSR.510203PПроверите вредност параметра|bibcode=length (помоћ).PMC4434998 .PMID 25984837.doi:10.1038/srep10203.
^Gibson, Matthew C; Patel, Ankit P.; Perrimon, Norbert; Perrimon, Norbert (2006). „The emergence of geometric order in proliferating metazoan epithelia”.Nature.442(7106): 1038—1041.Bibcode:2006Natur.442.1038G.PMID 16900102.doi:10.1038/nature05014.
^George, Dileep; Hawkins, Jeff (2009). Friston, Karl J., ур.„Towards a Mathematical Theory of Cortical Micro-circuits”.PLoS Comput Biol.5(10): e1000532.Bibcode:2009PLSCB...5E0532G.PMC2749218 .PMID 19816557.doi:10.1371/journal.pcbi.1000532.
^Gupta, Ankur; Rawlings, James B. (април 2014).„Comparison of Parameter Estimation Methods in Stochastic Chemical Kinetic Models: Examples in Systems Biology”.AIChE Journal.60(4): 1253—1268.PMC4946376 .PMID 27429455.doi:10.1002/aic.14409.

Литература[уреди|уреди извор]

Ince, E. L. (1958).Ordinary Differential Equations.Dover Publications.ISBN 978-0-486-60349-0.
Gagniuc, Paul A. (2017).Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation.USA, NJ: John Wiley & Sons. стр. 1—235.ISBN 978-1-119-38755-8.
Hildebrand, F. B.(1974).Introduction to Numerical Analysis(2nd изд.). McGraw-Hill.ISBN 978-0-07-028761-7.
Hurewicz, Witold(2002).Lectures on Ordinary Differential Equations.Dover Publications.ISBN 978-0-486-49510-1.
Evans, L. C.(1998).Partial Differential Equations.Providence: American Mathematical Society.ISBN 978-0-8218-0772-9.
Ahlfors, L.(1979).Complex Analysis(3rd изд.). New York: McGraw-Hill.ISBN 978-0-07-000657-7.
Abbott, Stephen (2001).Understanding Analysis.Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag.ISBN 978-0-387-95060-0.
Conway, J. B.(1994).A Course in Functional Analysis(2nd изд.). Springer-Verlag.ISBN 978-0-387-97245-9.
Jahnke, Hans Niels (2003).A History of Analysis.American Mathematical Society. стр. 7.ISBN 978-0-8218-2623-2.
Математичка анализа,(Проф. Др Светозар Курепа), први дио - диференцирање и интегрирање,Техничка књига,Загреб, 1975.
Виша математика I(академик Радивоје Кашанин), четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969.
Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984.Mathematics, its Content, Methods, and Meaning.2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
Apostol, Tom M. (1974).Mathematical Analysis(2nd изд.). Addison–Wesley.ISBN 978-0-201-00288-1.
Binmore, K.G. 1980–1981.The foundations of analysis: a straightforward introduction.2 volumes. Cambridge University Press.
Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981.Foundations of mathematical analysis.New York: M. Dekker.
Nikol'skii, S. M. (2002). „"Mathematical analysis"”.Ур.:Michiel Hazewinkel.Encyclopaedia of Mathematics.Springer-Verlag.ISBN 978-1-4020-0609-8.Архивирано из оригинала 09. 04. 2006. г.Приступљено20. 06. 2017.Спољашња веза у|chapter=(помоћ)
Rombaldi, Jean-Étienne (2004).Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques.EDP Sciences.ISBN 978-2-86883-681-6.}-
Rudin, W.(1991).Functional Analysis.McGraw-Hill Science.ISBN 978-0-07-054236-5.
Rudin, Walter (1987).Real and Complex Analysis(PDF)(3rd изд.). New York: McGraw-Hill.ISBN 978-0-07-054234-1.
Rudin, Walter(1976).Principles of Mathematical Analysis.Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd изд.). McGraw–Hill.ISBN 978-0-07-054235-8.
Smith, David E. (1958).History of Mathematics.Dover Publications.ISBN 978-0-486-20430-7.
Whittaker, E. T.(1927).A Course of Modern Analysis(4th изд.). Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-58807-2.Пронађени су сувишни параметри:|author=и|last=(помоћ)

Спољашње везе[уреди|уреди извор]

[1] Ruelle, David; Takens, Floris (1971).„On the nature of turbulence”.Communications in Mathematical Physics.20(3): 167—192.doi:10.1007/bf01646553.

[Stochastic_climate_dynamics-2] D., Chekroun M.; Simonnet, E. & Ghil, M. (2011). „Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures”.Physica D.240(21): 1685—1700.doi:10.1016/j.physd.2011.06.005.

[3] Edwin Hewittand Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965

[4] Stillwell, John Colin.„analysis | mathematics”.Encyclopædia Britannica.Приступљено31. 7. 2015.

[analysis-5] Jahnke 2003,стр. 7

[FOOTNOTERudin1976-6] Rudin 1976.

[FOOTNOTEAbbott2001-7] Abbott 2001.

[FOOTNOTEAhlfors1979-8] Ahlfors 1979.

[FOOTNOTERudin1991-9] Rudin 1991.

[FOOTNOTEConway1994-10] Conway 1994.

[11] Ince 1958

[12] Hurewicz 2002

[FOOTNOTEEvans1998-13] Evans 1998.

[14] Terence Tao,2011.An Introduction to Measure Theory.American Mathematical Society.

[15] Fraenkel, Abraham A.;Bar-Hillel, Yehoshua;Lévy, Azriel(1973),Foundations of set theory(2nd изд.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., стр. 69—70,ISBN 9780080887050,MR 0345816

[FOOTNOTEHildebrand1974-16] Hildebrand 1974.

[:0-17] Gagniuc 2017,стр. 1–235

[18] „Markov chain | Definition of Markov chain in US English by Oxford Dictionaries”.Oxford Dictionaries | English.Архивирано изоригинала15. 12. 2017. г.Приступљено14. 12. 2017.

[rearrang-19] Pratas, D; Silva, R; Pinho, A; Ferreira, P (18. 5. 2015).„An alignment-free method to find and visualise rearrangements between pairs of DNA sequences”.Scientific Reports (Group Nature).5(10203): 10203.Bibcode:2015NatSR.510203PПроверите вредност параметра|bibcode=length (помоћ).PMC4434998 .PMID 25984837.doi:10.1038/srep10203.

[20] Gibson, Matthew C; Patel, Ankit P.; Perrimon, Norbert; Perrimon, Norbert (2006). „The emergence of geometric order in proliferating metazoan epithelia”.Nature.442(7106): 1038—1041.Bibcode:2006Natur.442.1038G.PMID 16900102.doi:10.1038/nature05014.

[21] George, Dileep; Hawkins, Jeff (2009). Friston, Karl J., ур.„Towards a Mathematical Theory of Cortical Micro-circuits”.PLoS Comput Biol.5(10): e1000532.Bibcode:2009PLSCB...5E0532G.PMC2749218 .PMID 19816557.doi:10.1371/journal.pcbi.1000532.

[22] Gupta, Ankur; Rawlings, James B. (април 2014).„Comparison of Parameter Estimation Methods in Stochastic Chemical Kinetic Models: Examples in Systems Biology”.AIChE Journal.60(4): 1253—1268.PMC4946376 .PMID 27429455.doi:10.1002/aic.14409.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

п р у Главне теме изматематичке анализе
Инфинитезимални рачун:Интеграл Диференцијал Диференцијална једначина обична парцијална стохастичка Фундаментална теорема рачуна Варијацијски рачун Векторска анализа Тензорски рачун Матрични рачун Листе интеграла Таблица извода
Реална анализа Комплексна анализа Хиперкомплексна анализа(кватернионска анализа) Функционална анализа Фуријеова анализа Спектрална анализа најмањих квадрата Хармонијска анализа P-adic analysis(P-adic numbers) Теорија мере Теорија репрезентације Функције Непрекидна функција Специјалне функције Лимит Ред Бесконачност
Портал Математика

Нормативна контрола
Државне	Шпанија Француска BnF подаци Немачка Израел Сједињене Државе Јапан Чешка
Остале	Енциклопедија савремене Украјине Енциклопедија Британика