Mehanika kontinuuma

Mehanika kontinuumaje granamehanikekoja se bavi mehaničkim ponašanjem modelovanih materijala kao kontiunalne mase pre nego diskretnih čestica. Frencuski matematičarOgisten Luj Košije prvi formulisao takve modele u 19. veku.

Model kontinuuma pretpostavlja da supstanca objekta u potpunosti ispunjava prostor koji zauzima. Ovo zanemaruje činjenicu da je materija napravljena odatoma,međutim daje dovoljno tačan opis materije na skalama dužine koje su mnogo veće od međuatomskih rastojanja. Koncept neprekidnog medijuma omogućava intuitivnu analizu obimne materije korišćenjem diferencijalnih jednačina koje opisuju ponašanje takve materije u skladu safizičkim zakonima,kao što su očuvanje mase, očuvanje količine kretanja i očuvanje energije. Informacija o konkretnom materijalu izražena je ukonstitutivnim odnosima.

Mehanika kontinuuma bavi se fizičkim svojstvima čvrstih tela i fluida koja su nezavisna od bilo kog određenogkoordinatnog sistemau kojem se posmatraju. Ova svojstva se zatim predstavljajutenzorima,koji su matematički objekti sa svojstvom da su nezavisni od koordinatnih sistema. Ovo dozvoljava definisanje fizičkih svojstava u bilo kojoj tački kontinuuma, prema matematički pogodnimkontinuiranim funkcijama.Teorijeelastičnosti,plastičnostiimehanike fluidazasnivaju se na konceptima mehanike kontinuuma.

Objašnjenje

Modelovanje objekta kao kontinuuma podrazumeva da supstanca datog predmeta u potpunosti ispunjava prostor koji zauzima. Modelovanje objekata na ovaj način zanemaruje činjenicu da je materija sačinjena odatoma,i da stoga nije neprekidna; međutim, prirazmerama dužinemnogo većim od međuatomskih rastojanja, takvi modeli su vrlo tačni. Fundamentalni fizički zakoni kao što suočuvanje mase,očuvanje momentaiočuvanje energijemogu se primeniti na ove modele, kako bi se dobilediferencijalne jednačinekoje opisuju ponašanje objekata, a neke informacije o proučavanom materijalu dodaju se putemkonstitutivnih odnosa.

Mehanika kontinuuma bavi se fizičkim svojstvima čvrstih materija i tečnosti koja su nezavisna o bilo kog datogkoordinatnom sistemuu kome se posmatraju. Ova fizička svojstva se zatim predstavljajutenzorima,matematičkim objektima koji imaju traženo svojstvo da su nezavisni od koordinatnog sistema. Tenzori se mogu izraziti u koordinatnim sistemima radi lakšeg računanja.

Koncept kontinuuma

Materijali, poput čvrste materije, tečnosti i gasova, sastoje se odmolekularazdvojenih prostorom. Na mikroskopskom nivou, materijali imaju pukotine i diskontinuitete. Međutim, određeni fizički fenomeni mogu se modelovati uz pretpostavku da materijali postoje kaokontinuum, što znači da je materija u telu neprekidno distribuirana i da ispunjava celokupno područje prostora koji zauzima.Kontinuum je telo koje se može neprestano deliti uinfinitezimalneelemente sa svojstvima koja su karakteristična za celokupni materijal.

Validnost pretpostavke o kontinuumu može se potvrditi teorijskom analizom, kojom se bilo identifikuje neka jasna periodičnost ili postojestatistička homogenostiergodičnost mikrostrukture.Tačnije, hipoteza/pretpostavka o kontinuumu zavisi od koncepatareprezentativne elementarne zapreminei separacije skala zasnovane nauslovu Hil-Mandela.Ovaj uslov pruža vezu između eksperimentalnog i teoretskog gledišta na konstitutivne jednačine (linearna i nelinearna elastična/neelastična ili uparena polja), kao i načina prostornog i statističkog usrednjavanja mikrostrukture.^[1]

Kada razdvajanje skala ne postoji, ili kada se želi da se uspostavi kontinuum finije rezolucije od veličine reprezentativnog zapreminskog elementa (engl.representative volume element - RVE), koristi sestatistički zapreminski elementengl.(statistical volume element - SVE), što dovodi do randomnih polja kontinuuma. Potonja zatim pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (engl.stochastic finite element - SFE). Nivoi SVE i RVE vezuju mehaniku kontinuuma sastatističkom mehanikom.RVE se može proceniti samo na ograničen način putem eksperimentalnog testiranja: kada konstitutivni respons postane prostorno homogen.

Konkretno zafluide,Knudsenov brojse koristi za procenu u kojoj se meri može postići približna vrednost kontinuiteta.

Saobraćaj automobila kao uvodni primer

Ako se uzme u obzir promet automobila na autoputu, sa samo jednom trakom radi jednostavnosti, pomalo iznenađujuće, i u znak priznanja svojoj efikasnosti, mehanika kontinuuma efikasno modeluje kretanje automobila. To ostvaruje putemjednačina parcijalnih diferencijala(PDE) za gustinu automobila. Poznavanje ove situacije osnažuje mogućnost da se razumu dihotomije kontinuuma i diskretnosti koja je u osnovi modelovanja kontinuuma generalno.

Za početak modelovanja definiše se da: $x$ meri udaljenost (u km) duž autoceste; $t$ je vreme (u minutama); $\rho (x,t)$ je gustina automobila na autoputu (u automobilima/km u traci); a $u(x,t)$ jebrzina protoka(prosečna brzina) tih automobila 'na' položaju $x$ .

Konzervacija izvođenjaPDJ

Automobili se arbitrarno pojavljuju pa nestaju. Razmotrimo bilo koju grupu automobila: od određenog automobila na stražnjem delu grupe koji se nalazi na $x=a(t)$ do određenog automobila na prednjoj strani koji se nalazi na $x=a(t)$ do određenog automobila spreda koji se nalazi na $x=b(t)$ .T, ukupan broj automobila u ovoj grupi je $N=\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx$ .Budući da su automobili zaštićeni (ako postoji preticanje, tada „automobil spreda\ straga” može postati različiti automobil)

dN/dt=0

.

Međutim putemLajbnizovog integralnog pravila:

{\begin{aligned}{}{\frac {dN}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t){\frac {db}{dt}}-\rho (a,t){\frac {da}{dt}}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t)u(b,t)-\rho (a,t)u(a,t)\\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)\right]dx\end{aligned}}

Ovaj integral, kao nula, vredi za sve grupe, odnosno za sve intervale $[a,b]$ .Jedini način na koji integral može biti nula za sve intervale je ako je integsan za svako $x$ .Kao posledica toga, konzervacija daje nelinearno konzerviranje prvog reda PDE

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0

za sve pozicije na autoputu.

Ova zaštitni PDE odnosi se, ne samo na automobilski promet, već i natečnosti,čvrste materije,gužvu,životinje,biljke,požare,finansijski promet itd.

Promatranje zatvara problem

Kada vredi skala razdvajnja ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički zapreminski element “(SVE), koji u okret, dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sastatističkom mehanikom.RVE se može proceniti samo ograničeno putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno, zafluide,koristi seKnudsenov brojza procenu u kojoj se meri može izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

Reference

^Ostoja-Starzewski, M. (2008).„7-10”.Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials.CRC Press.ISBN 978-1-58488-417-0.

Literatura

Atanackovic, Teodor M.; Guran, Ardeshir (16. 6. 2000).Theory of Elasticity for Scientists and Engineers.Dover books on physics (на језику: енглески). Springer Science & Business Media.ISBN 978-0-8176-4072-9.
Chadwick, Peter (1. 1. 1999).Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems(на језику: енглески). Courier Corporation.ISBN 978-0-486-40180-5.
Dienes, J. K.; Solem, J. C. (1999).„Nonlinear behavior of some hydrostatically stressed isotropic elastomeric foams”.Acta Mechanica.138(3–4): 155—162.S2CID 120320672.doi:10.1007/BF01291841.
Irgens, Fridtjov (10. 1. 2008).Continuum Mechanics(на језику: енглески). Springer Science & Business Media.ISBN 978-3-540-74298-2.
Liu, I-Shih (28. 5. 2002).Continuum Mechanics(на језику: енглески). Springer Science & Business Media.ISBN 978-3-540-43019-3.
Spencer, A. J. M. (1980).Continuum Mechanics.Longman Group Limited (London). стр. 83.ISBN 978-0-582-44282-5.

Roberts, A. J. (1994).A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics.World Scientific.

Smith, Donald R. (1993).„2”.An introduction to continuum mechanics-after Truesdell and Noll.Solids mechanics and its applications.22.Springer Science & Business Media.ISBN 978-90-481-4314-6.
Wu, Han-Chin (20. 12. 2004).Continuum Mechanics and Plasticity(на језику: енглески). Taylor & Francis.ISBN 978-1-58488-363-0.
Batra, R. C. (2006).Elements of Continuum Mechanics.Reston, VA: AIAA.
Bertram, Albrecht (2012).Elasticity and Plasticity of Large Deformations - An Introduction(Third изд.). Springer.ISBN 978-3-642-24615-9.doi:10.1007/978-3-642-24615-9.

Chandramouli, P.N (2014).Continuum Mechanics.Yes Dee Publishing Pvt Ltd.ISBN 9789380381398.Архивирано изоригинала04. 08. 2018. г.Приступљено28. 08. 2019.

Eringen, A. Cemal (1980).Mechanics of Continua(2nd изд.). Krieger Pub Co.ISBN 978-0-88275-663-9.

Chen, Youping; James D. Lee; Azim Eskandarian (2009).Meshless Methods in Solid Mechanics(First изд.). Springer New York.ISBN 978-1-4419-2148-2.

Dill, Ellis Harold (2006).Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity.Germany: CRC Press.ISBN 978-0-8493-9779-0.

Dimitrienko, Yuriy (2011).Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations.Germany: Springer.ISBN 978-94-007-0033-8.

Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004).Continuum Methods of Physical Modeling.Germany: Springer.ISBN 978-3-540-20619-4.

Fung, Y. C. (1977).A First Course in Continuum Mechanics(2nd изд.). Prentice-Hall, Inc.ISBN 978-0-13-318311-5.

Gurtin, M. E. (1981).An Introduction to Continuum Mechanics.New York: Academic Press.
Lai, W. Michael; David Rubin; Erhard Krempl (1996).Introduction to Continuum Mechanics(3rd изд.). Elsevier, Inc.ISBN 978-0-7506-2894-5.Архивирано изоригинала2009-02-06. г.

Lubarda, Vlado A. (2001).Elastoplasticity Theory.CRC Press.ISBN 978-0-8493-1138-3.

Lubliner, Jacob (2008).Plasticity Theory (Revised Edition)(PDF).Dover Publications.ISBN 978-0-486-46290-5.Архивирано изоригинала(PDF)2010-03-31. г.

Malvern, Lawrence E. (1969).Introduction to the mechanics of a continuous medium.New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Mase, George E. (1970).Continuum Mechanics.McGraw-Hill Professional.ISBN 978-0-07-040663-6.

Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999).Continuum Mechanics for Engineers(Second изд.). CRC Press.ISBN 978-0-8493-1855-9.

Maugin, G. A. (1999).The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction.Singapore: World Scientific.
Nemat-Nasser, Sia (2006).Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials.Cambridge: Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-83979-2.

Ostoja-Starzewski, Martin (2008).Microstructural Randomness and Scaling in Mechanics of Materials.Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press.ISBN 978-1-58488-417-0.

Rees, David (2006).Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications.Butterworth-Heinemann.ISBN 978-0-7506-8025-7.

Wright, T. W. (2002).The Physics and Mathematics of Adiabatic Shear Bands.Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Spoljašnje veze

[1] Ostoja-Starzewski, M. (2008).„7-10”.Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials.CRC Press.ISBN 978-1-58488-417-0.

[1]