Teorija reprezentacije

Teorija reprezentacijeje granamatematikekoja proučavaapstraktne algebarske strukturepredstavljajući njihoveelementekaolinearne transformacije vektorskih prostora,^[1]i proučavamoduleza ove apstraktne algebarske strukture.^[2]^[3]U suštini, reprezentacija čini apstraktni algebrski objekat konkretnijim opisujući njegove elementematricamai njegovimalgebarskim operacijama(na primer,sabiranje matrica,množenje matrica). Teorija matrica i linearnih operatora je dobro izučena, tako da reprezentacija apstraktnijih objekata u smislu poznatih linearnih algebričnih objekata pomaže u sticanju uvida u svojstava, a ponekad i pojednostavljuje izračunavanja na apstraktnijim teorijama.

Algebrskiobjekti koji se mogu opisati uključujugrupe,asocijativne algebreiLijeve algebre.Najprominentnija od njih (i istorijski prva) jeteorija reprezentacije grupa,u kojoj su elementi grupe predstavljeni invertabilnim matricama na takav način da je grupna operacija množenje matrica.^[4]^[5]

Teorija reprezentacije je korisna metoda jer svodi problemeapstraktne algebrena problemelinearne algebre,oblast koja je dobro izučena.^[6]Nadalje, vektorski prostor na kojem je predstavljena grupa (na primer) može biti beskonačno dimenzionalan, i dopuštajući da bude, na primer,Hilbertov prostor,metodeanalizemogu se primeniti na teoriju grupa.^[7]^[8]Teorija reprezentacije je takođe važna ufizicijer, na primer, ona opisuje kakogrupa simetrijefizičkog sistema utiče na rešenja jednačina koja opisuju taj sistem.^[9]

Teorija reprezentacije je iz dva razloga prožimajuća u više oblasti matematike. Prvo, primene teorije reprezentacije su raznovrsne,^[10]te pored uticaja na algebru, teorija reprezentacije:

osvetljava i generališeFurijeovu analizuputemharmonijske analize,^[11]
povezana je sageometrijomputeminvariantne teorijeiErlangenovog programa,^[12]
ima uticaja na teoriju brojeva putemautomorfnih formiiprograma Langlandsa.^[13]

Drugo, postoje različiti pristupi teoriji reprezentacije. Isti se objekti mogu proučavati metodama izalgebarske geometrije,teorije modula,teorije analitičkih brojeva,diferencijalne geometrije,teorije operatora,algebarske kombinatorikeitopologije.^[14]

Uspeh teorije reprezentacije doveo je do brojnih generalizacija. Jedna od najčešćih je uteoriji kategorija.^[15]Algebarski objekti na koje se odnosi teorija reprezentacije mogu se posmatrati kao posebne vrste kategorija, a reprezentacije kaofunktoriiz kategorije objekta ukategoriju vektorskih prostora.^[5]Ovaj opis ukazuje na dve očigledne generalizacije: prvo, algebarski objekti se mogu zameniti opštijim kategorijama; drugo, ciljna kategorija vektorskih prostora može se zameniti drugim dobro izučenim kategorijama.

Definicije i koncepti

Neka jeVvektorski prostornadpoljemF.^[6]Na primer, prostorVjeRⁿiliCⁿ,standardnin-dimenzionalni prostor odkolonskih vektoranadrealnimilikompleksnim brojevima,respektivno. U tom slučaju, ideja reprezentacione teorije je da se primeniapstraktna algebrakonkretno koristećin×nmatricerealnih ili kompleksnih brojeva.

Postoje tri glavne vrstealgebarskihobjekata za koje se to može učiniti:grupe,asocijativne algebreiLijeve algebre.^[16]^[5]

Skup svihinvertabilnihn×nmatrica je grupa podmatričnim množenjem,iteorija reprezentacije grupaanalizira grupu opisivanjem („reprezentacijom” ) njenih elemenata u smislu inverzibilnih matrica.
Matrično sabiranje i množenje sačinjavaju skupsvihn×nmatrica u asocijativnoj algebri, i stoga postoji korespondirajućateorija reprezentacije asocijativnih algebri.
Ako se zameni matrično množenjeMNsa matričnimkomutatoromMN−NM,ondan×nmatrice postaju umesto toga Lijeva algebra, što dovodi soteorije reprezentacije Lijevih algebri.

Ovo se generalizuje do bilo kog poljaFi bilo kog vektorskog prostoraVnadF,pri čemulinearne mapezamenjuju matrice ikompozicijazamenjuje matrično množenje: postoji grupaGL(V,F)automorfizamaodV,asocijativna algebra End_F(V) svih endomorfizama odV,i korespondirajuća Lijeva algebragl(V,F).

Reference

^„The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation”.Math Vault(на језику: енглески). 1. 8. 2019.Приступљено9. 12. 2019.
^Classic texts on representation theory includeCurtis & Reiner (1962)andSerre (1977).Other excellent sources areFulton & Harris (1991)andGoodman & Wallach (1998)
^„representation theory in nLab”.ncatlab.org.Приступљено9. 12. 2019.
^For the history of the representation theory of finite groups, seeLam (1998).For algebraic and Lie groups, seeBorel (2001)
^^а ^б ^вEtingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (10. 1. 2011).„Introduction to representation theory”(PDF).www-math.mit.edu.Приступљено9. 12. 2019.
^^а ^бThere are many textbooks onvector spacesandlinear algebra.For an advanced treatment, seeKostrikin & Manin (1997)
^Sally & Vogan 1989
^Teleman, Constantin (2005).„Representation Theory”(PDF).math.berkeley.edu.Приступљено9. 12. 2019.
^Sternberg 1994
^Lam 1998,стр. 372
^Folland 1995
^Goodman & Wallach 1998,Olver 1999,Sharpe 1997
^Borel & Casselman 1979,Gelbart 1984
^See the previous footnotes and alsoBorel (2001)
^Simson, Skowronski & Assem 2007
^Fulton & Harris 1991,Simson, Skowronski & Assem 2007,Humphreys 1972

Literatura

Alperin, J. L.(1986),Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups,Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-44926-7.
Bargmann, V. (1947), „Irreducible unitary representations of the Lorenz group”,Annals of Mathematics,48(3): 568—640,JSTOR 1969129,doi:10.2307/1969129.
Borel, Armand(2001),Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups,American Mathematical Society,ISBN 978-0-8218-0288-5.
Borel, Armand; Casselman, W. (1979),Automorphic Forms, Representations, and L-functions,American Mathematical Society,ISBN 978-0-8218-1435-2.
Curtis, Charles W.;Reiner, Irving(1962),Representation Theory of Finite Groups and AssociativeAlgebras,John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore),ISBN 978-0-470-18975-7.
Gelbart, Stephen(1984), „An Elementary Introduction to the Langlands Program”,Bulletin of the American Mathematical Society,10(2): 177—219,doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
Folland, Gerald B. (1995),A Course in Abstract Harmonic Analysis,CRC Press,ISBN 978-0-8493-8490-5.
Шаблон:Fulton-Harris.
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998),Representations and Invariants of the Classical Groups,Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-66348-9.
Gordon, James; Liebeck, Martin (1993),Representations and Characters of Finite Groups,Cambridge: Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-44590-0.
Hall, Brian C. (2015),Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction,Graduate Texts in Mathematics,222(2nd изд.), Springer,ISBN 978-3319134666
Helgason, Sigurdur (1978),Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces,Academic Press,ISBN 978-0-12-338460-7
Humphreys, James E. (1972a),Introduction to Lie Algebras and RepresentationTheory,Birkhäuser,ISBN 978-0-387-90053-7.
Humphreys, James E. (1972b),Linear Algebraic Groups,Graduate Texts in Mathematics,21,Berlin, New York:Springer-Verlag,ISBN 978-0-387-90108-4,MR 0396773
Jantzen, Jens Carsten (2003),Representations of Algebraic Groups,American Mathematical Society,ISBN 978-0-8218-3527-2.
Kac, Victor G.(1977), „Lie superalgebras”,Advances in Mathematics,26(1): 8—96,doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
Kac, Victor G. (1990),Infinite Dimensional Lie Algebras(3rd изд.), Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-46693-6.
Knapp, Anthony W.(2001),Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples,Princeton University Press,ISBN 978-0-691-09089-4.
Kim, Shoon Kyung (1999),Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals,Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-64062-6.
Kostrikin, A. I.;Manin, Yuri I.(1997),Linear Algebra and Geometry,Taylor & Francis,ISBN 978-90-5699-049-7.
Lam, T. Y. (1998), „Representations of finite groups: a hundred years”,Notices of the AMS,45(3,4):361–372 (Part I),465–474 (Part II).
Yurii I. Lyubich.Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups.Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Mumford, David;Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994),Geometric invariant theory,Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)],34(3rd изд.), Berlin, New York:Springer-Verlag,ISBN 978-3-540-56963-3,MR 0214602;MR 0719371(2nd ed.);MR 1304906(3rd ed.)
Olver, Peter J.(1999),Classical invariant theory,Cambridge: Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-55821-1.
Peter, F.; Weyl, Hermann (1927),„Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”,Mathematische Annalen,97(1): 737—755,doi:10.1007/BF01447892,Архивирано изоригинала19. 8. 2014. г..
Pontrjagin, Lev S.(1934), „The theory of topological commutative groups”,Annals of Mathematics,35(2): 361—388,JSTOR 1968438,doi:10.2307/1968438.
Sally, Paul;Vogan, David A.(1989),Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups,American Mathematical Society,ISBN 978-0-8218-1526-7.
Serre, Jean-Pierre(1977),Linear Representations of FiniteGroups,Springer-Verlag,ISBN 978-0387901909.
Sharpe, Richard W. (1997),Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program,Springer,ISBN 978-0-387-94732-7.
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007),Elements of the Representation Theory of Associative Algebras,Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-88218-7.
Sternberg, Shlomo(1994),Group Theory andPhysics,Cambridge University Press,ISBN 978-0-521-55885-3.
Tung, Wu-Ki (1985).Group Theory in Physics(1st изд.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong:World Scientific.ISBN 978-9971966577.
Weyl, Hermann(1928),Gruppentheorie und Quantenmechanik(The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 изд.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover),ISBN 978-0-486-60269-1.
Weyl, Hermann (1946),The Classical Groups: Their Invariants and Representations(2nd изд.), Princeton University Press (reprinted 1997),ISBN 978-0-691-05756-9.
Wigner, Eugene P.(1939), „On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”,Annals of Mathematics,40(1): 149—204,JSTOR 1968551,doi:10.2307/1968551.

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Representation theory”.Encyclopaedia of Mathematics.Springer.ISBN 978-1556080104.
Alexander Kirillov Jr.,An introduction to Lie groups and Lie algebras(2008). Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.

[1] „The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation”.Math Vault(на језику: енглески). 1. 8. 2019.Приступљено9. 12. 2019.

[2] Classic texts on representation theory includeCurtis & Reiner (1962)andSerre (1977).Other excellent sources areFulton & Harris (1991)andGoodman & Wallach (1998)

[3] „representation theory in nLab”.ncatlab.org.Приступљено9. 12. 2019.

[4] For the history of the representation theory of finite groups, seeLam (1998).For algebraic and Lie groups, seeBorel (2001)

[:0-5] а ^б ^вEtingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (10. 1. 2011).„Introduction to representation theory”(PDF).www-math.mit.edu.Приступљено9. 12. 2019.

[linalg-6] а ^бThere are many textbooks onvector spacesandlinear algebra.For an advanced treatment, seeKostrikin & Manin (1997)

[7] Sally & Vogan 1989

[:1-8] Teleman, Constantin (2005).„Representation Theory”(PDF).math.berkeley.edu.Приступљено9. 12. 2019.

[Sternberg-9] Sternberg 1994

[10] Lam 1998,стр. 372

[Folland-11] Folland 1995

[12] Goodman & Wallach 1998,Olver 1999,Sharpe 1997

[13] Borel & Casselman 1979,Gelbart 1984

[14] See the previous footnotes and alsoBorel (2001)

[SSA-15] Simson, Skowronski & Assem 2007

[16] Fulton & Harris 1991,Simson, Skowronski & Assem 2007,Humphreys 1972

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

p r u Glavne teme izmatematičke analize
Infinitezimalni račun:Integral Diferencijal Diferencijalna jednačina obična parcijalna stohastička Fundamentalna teorema računa Varijacijski račun Vektorska analiza Tenzorski račun Matrični račun Liste integrala Tablica izvoda
Realna analiza Kompleksna analiza Hiperkompleksna analiza(kvaternionska analiza) Funkcionalna analiza Furijeova analiza Spektralna analiza najmanjih kvadrata Harmonijska analiza P-adic analysis(P-adic numbers) Teorija mere Teorija reprezentacije Funkcije Neprekidna funkcija Specijalne funkcije Limit Red Beskonačnost
Portal Matematika