Sebaran binomial

Dinamatematik,sebaran binomialmangrupaprobability distributiondiskrit nu ngajelaskeun angkakeberhasilantina sekuennindependentpercobaan enya/heunteu, unggal nu hasil mibandaprobabilitip.Saperti ogé hasil/gagalna percobaan disebut ogé percobaan Bernoulli atawaBernoulli trial.Sebaran binomial mangrupa dasar nu kawentar keurbinomial testtinastatistical significance.

Conto tipikalna nyaéta: 5% populasi mangrupa positif HIV. Anjeun nyokot 500 urang sacara acak. Kumaha cara yén anjeun meunang 30 atawa leuwih HIV-positip? Jumlah HIV-positip nu dicokot ku anjeun mangrupavariabel randomXnu nuturkeun sebaran binomial mibandan= 500 sartap=.05. Hartina urang museurkeun kan probabiliti Pr[X≥ 30].

Sacara umum, lamun variabel randomXnuturkeun sebaran binomial mibanda paramaternsartap,dituliskeunX~ B(n,p). Probabiliti nu pasti sukseskdirumuskeun ku

$P\left[X=k\right]={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}\ {\mbox{for}}\ k=0,1,2,\cdots,n$

di mana

${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$

mangrupakoéfisién binomial"nmilihk"(oge dilambangkeun kuC(n,k)), ti mana ngaran sebaran. Rumus bisa dipikaharti saperti kieu: urang hayangksukses (p^k) sartan−kgagal ((1 −p)^n−k). Sanajan kitu, sukseskbisa kajadian di mana waé di antaranpercobaan, sarta di mana C(n,k) béda jalan kasebarna sukseskdina sekuennpercobaan.

LamunX~ B(n,p), mangkanilai ekspektasiXnyaéta

$E\left[X\right]=np$

sartavariannyaéta

${\mbox{var}}\left(X\right)=np(1-p).$

Nilai nu leuwih siga atawamodeXdibérékeun ku integer panggedéna kurang atawa sarua jeung (n+1)p;lamunm= (n+1)pmangrupa interger sorangan, mangkam− 1 sartamduanana mangrupa mode.

LamunX~ B(n,p) sartaY~ B(m,p) mangrupa variabel binomial bébas, mangkaX+Yogé mangrupa variabel binomial; sebaranna nyaéta

$B\left(n+m,p\right).$

Dua sebaran penting nu ngadeukeutan sebaran binomial nyaéta:

Binomial PDF and Normal approximation for n=6 and p=0.5.

• Lamunnpsartan(1 −p) leuwih gedé ti 5 atawa séjénna, mangkapendekatanpanghadéna (dumasar kanacontinuity correctionnu mungkin dipaké) ka B(n,p) dirumuskeun kusebaran normal

$N\left(np,np\left(1-p\right)\right).$

Pendekatanieu ngarupakeunhuge time-saver;sajarahna, ieu mimiti dipake sebaran normal, dimimitian kuAbraham de Moivredina bukunaThe Doctrine of Chancestaun 1733. Kiwari, bisa ditempo sabab tinacentral limit theorem,B(n,p) ngarupakeun jumlahnbebas,identically distributed0-1indicator variable.Inget:ieupendekatanhasilna teu akurat lamun teu makecontinuity correction.Catetan:gambar nembongkeun normal and binomialprobability density function(PDF) sarta laincumulative distribution function.

Contona, anggap anjeun nyokot sampel randomnti masarakat nu populasi loba sarta nyebutkeun ten maranéhna satuju kana hijipernyataan.Proporsi masakarat nu satuju tangtu gumantung kana sampel. Lamun grup sampelnmasarakat diulang sarta bener-bener random, proprosi bakal nuturkeun sebaran normal nu mibanda mean sarua kana proporsi satuju sabenernapdina populasi sarta mibanda simpangan baku σ = (p(1 −p)/n)^1/2.Ukuran sampelnbadag ngarupakeun hal nu hade sabab simpangan baku bakal jadi leutik, nu ngijinkeun keur estimasi nu hade keur paramaterpnu teu dipikanyaho.

• Lamunnbadag sartapleutik, mangkanpukuranna sedeng, mangkaPoisson distributionmibanda paraméter λ =npmangrupapendekatannu hadé keur B(n,p).

Rumus keurBézier curveskailhaman ku sebaran binomial.