Begränsad mängd

Enbegränsad mängdär inommatematikenmängddär det, intuitivt uttryckt, finns ett största avstånd mellan elementen i mängden som är ändligt. En mängd som inte är begränsad kallas för enobegränsad mängd.

Illustration över en begränsad (övre delen) och en obegränsad mängd (nedre delen). Den röda triangeln begränsas av sina sidor medan det andra objektet fortsätter åt höger utan gräns.

Mängder av reella tal

En mängdAavreella taläruppåt begränsadom det finns ett reellt talMså att$x\leq M$för allaxiA.Akallasnedåt begränsadom det finns ett talmså att$m\leq x$för allaxiA.Om en mängd är både uppåt och nedåt begränsad är det en begränsad mängd, det vill säga om det finns ett talsså att$|x|<s$för allaxiA.

Likartat, omAär en delmängd tillRⁿärAbegränsad om det finns ett reellt talsså att$|x|<s$för allaxiA.

Metriska rum

OmAär en delmängd till ettmetriskt rum(X,d),ärAbegränsad om den ryms inom någonbollmed ändlig radie, dvs om det finns ettaiAoch ett talMsådant att

$d(x,a)<M\,$

för allaxiA.

Om mängdenAär begränsad gäller att:

$\delta (A)=\sup _{x,y\in A}d(x,y)<\infty.$

$\delta (A)$kallas för mängdenA:sdiameter.Om$\delta (X)$är ändlig, dvs(X,d)är begränsad i sig själv, kalls(X,d)ettbegränsat metriskt rumochdkallas enbegränsad metrik.

Dånormerade rumär metriska rum kan man använda ovanstående definition på normerade rum med hjälp av normen i rummet. Det är då smidigt att som punktenaovan använda origo i det normerade rummet, så att en mängdAär begränsad om det finns ett talMså att$\|x\|<M$för allaxiA.

Att en mängd ärtotalt begränsadimplicerar att den är begränsad.

Måttrum

OmAär en delmängd till ett metrisktmåttrum(X,d,µ),ärAväsentligt begränsadom

$\delta ^{\mbox{ess}}(A)={\mbox{ess sup}}\{d(x,y):x,y\in A\}<\infty,$

$\delta ^{\mbox{ess}}(A)\,$kallas för mängdenA:sväsentliga diameterochess supärväsentligt supremummedproduktmåttet$\mu \times \mu$.Måttetµmåste vara ettsigma-begränsatmått.

Ordningsteori

Enlatticesägs vara begränsad om det innehåller både ett största och minsta element. En lattice$(L,\lor,\land )$är begränsadom och endast omdet finns ett neutralt element med avseende på både$\land$och$\lor$.

Källor

• Persson, Arne; Lars-Christer Böiers (2005).Analys i flera variabler.Studentlitteratur.ISBN 91-44-03869-0
• Kreyszig, Erwin (1978).Introductory Functional Analysis.John Wiley & Sons.ISBN 0-471-50731-8
• Svensson, Per-Anders (2001).Abstrakt algebra.Studentlitteratur.ISBN 91-44-01262-4