Delarsumma

Delarsumman(ellerdivisorsumman) för ettpositivt heltaln,är summan av talets positivadelareoch betecknas oftast σ(n).

Speciella tal definierade från sigmafunktionen

• Om σ(n) = 2nkallasnettperfekt tal.
• Om σ(n) < 2nkallasnettdefekt tal.
• Om σ(n) > 2nkallasnettymnigt tal.
• Om σ(n) = 2n+ 1 kallasnettkvasiperfekt tal.
• Om σ(n) = 2n- 1 kallasnettnästan-perfekt tal.
• Om σ(σ(n)) = 2nkallasnettsuperperfekt tal.

Exempel

• Talet28är delbart med 1, 2, 4, 7, 14 och 28, så σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56, vilket är lika med 2·28. Alltså är 28 ett perfekt tal.
• Talet7är delbart med 1 och 7, så σ(7) = 1 + 7 = 8, vilket är mindre än 2·7. Alltså är 7 ett defekt tal.
• Talet12är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12, så σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, vilket är större än 2·12. Alltså är 12 ett ymnigt tal.

Tillväxt

Sigmafunktioens asymptotiska tillväx ges av formeln

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma }.$

Detta resultat ärGrönwallssats,publicerat 1913. Hans bevis använderMertens tredje sats,som säger att

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },$

därpär ett primtal.

Ramanujan bevisade 1915 att under antagandet avRiemannhypotesengäller olikheten

$\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$(Robins olikhet)

för alla tillräckligt storan.Guy Robinbevisade 1984 att olikheten är sann för allan≥ 5,041 om och bara om Riemannhypotesen är sann. Detta ärRobins sats,och olikheten kom att uppkallas efter honom. Det största kända talet som inte satisfierar olikheten ärn=5,040. Riemannhypotesen inte är sann finns det inga större undantag. Om Riemannhypotesen är falsk finns det bevisade Robin att det finns oändligt många talnsom inte satisfierar olikheten, och det är känt att det minsta taletn≥ 5,041 som inte satisfierar den ärsuperymnigt.Det har bevisats att olikheten gäller för alla tillräckligt stora udda ochkvadratfria tal,och att Riemannhypotesen är ekvivalent med att olikheten gäller bara förnsom är delbara med femte potensen av ett primtal.

Ett relaterat resultat bevisades avJeffrey Lagarias2002. Han bevisade att Riemannhypotesen är ekvivalent med att olikheten

$\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}$

gäller för alla naturliga talndär$H_{n}$är detn-teharmoniska talet.

Robin bevisade också att olikheten

$\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}$

gäller för allan≥ 3.

Se även

• Delbarhet
• Delarantal
• Sigmafunktionen