Algebraiska tal

Inommatematikenär detkomplexa talet$x$algebraisktom det är en lösning till enpolynomekvationvarskoefficienterärheltal:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0,\quad a_{k}\in \mathbb {Z} \quad k=1,\cdots,n.$

Exempelvis är${\sqrt {2}}-1$ ett algebraiskt tal då det är en lösning till polynomekvationen

$x^{2}+2x-1\,=0$

Egenskaper

• Allarationella talär algebraiska, men det finnsreella talsom inte är algebraiska: förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, det vill säga talet$\pi$,är inte ett algebraiskt tal.
• Om ett algebraiskt tal är lösningen till en ekvation av gradn,men inte till någon ekvation av lägre grad, sägs talet varaett algebraiskt tal av grad n.
• De algebraiska talen bildar enuppräkneligmängd, till skillnad från detranscendenta talen,vilka är dereella talsom inte är algebraiska; det finns alltså ingen polynomekvation, vars koefficienter är heltal, som har ett transcendent tal som lösning.

Algebraiska heltal

Låt$\alpha$vara ett algebraiskt tal. Det finns då polynom med heltalskoefficienter för vilka talet$\alpha$är ett nollställe:

$p_{i}(\alpha )=0,\quad i\in I_{\alpha }.$

Indexmängden$I_{\alpha }$är en icke-tom mängd av positiva heltal. Man kan visa att denna mängd innehåller ett speciellt index,$i_{0}$,som motsvarar ett polynom$p_{i_{0}}$av lägst grad ($n_{i_{0}}$) bland polynomen$p_{i},\,$och somintekan heltalsfaktoriseras i en produkt av polynom av lägre grad än$n_{i_{0}}$.Om koefficienterna till det speciella polynomet$p_{i_{0}}$är heltal, så är$\alpha$är ettalgebraiskt heltaloch det speciella polynomet$p_{i_{0}}$kallas det algebraiska taletsminimalpolynom.

Exempel

Vi skall visa att det positiva reella talet$\alpha ={\sqrt {2}}-1$är ett algebraiskt heltal. Det är ett algebraiskt tal då det är ett nollställe till polynomet

$\ p(x)=1x^{2}+2x-1=({\sqrt {2}}-1)^{2}+2({\sqrt {2}}-1)-1=0$

Då detta polynom har koefficienter som är heltal (1, 2 och -1) är nollstället$\alpha$ett algebraiskt tal.

Polynomet kan faktoriseras till en produkt av polynom vars grader är lägre än två:

$\ p(x)=(x-({\sqrt {2}}-1))\cdot (x+({\sqrt {2}}+1));$

Men koefficienterna i de två polynomen är inte heltal; av detta följer att$p(x)$är minimalpolynomet associerat med det algebraiska talet${\sqrt {2}}-1$.Det faktum att ett minimalpolynom existerar, visar att${\sqrt {2}}-1$är ett algebraiskt heltal.

Om$n$är ett positivt heltal, är också$n^{2}$ett positivt heltal. Vi skall undersöka om detta även gäller för algebraiska heltal. Som ett tal att pröva väljer vi det algebraiska heltalet$\alpha ={\sqrt {2}}-1$och undersöker om talet$\alpha ^{2}=3-2{\sqrt {2}}$också är ett algebraiskt heltal.

För det första undersöker vi om det är ett algebraiskt tal:

$(\alpha ^{2})^{2}=(3-2{\sqrt {2}})^{2}=6(3-2{\sqrt {2}})-1=6(\alpha ^{2})-1$

Det reella talet$\alpha ^{2}$är tydligen ett nollställe till följande polynom vars koefficienter är heltal:

$q(x)=x^{2}-6x+1\,$

Detta visar att talet$\alpha ^{2}$är ett algebraiskt tal.

För det andra undersöker vi om det finns ett minimalpolynom associerat med det algebraiska talet$\alpha ^{2}$.Polynomet q kan faktoriseras till en produkt med två polynom av lägre grad än 2:

$q(x)=(x-(3-2{\sqrt {2}}))\cdot (x-(3+2{\sqrt {2}}))$

Koefficienterna för dessa polynom är inte heltal. Därför kan vi dra slutsatsen attqär ett minimalpolynom associerat med det algebraiska talet$\alpha ^{2}$,vilket visar att$\alpha ^{2}$är ett algebraiskt heltal.

Summan, differensen och produkten av algebraiska heltal är också algebraiska tal, vilket innebär att de algebraiska heltalen bildar enring.

Kardinalitet

Mängden av alla algebraiska tal äruppräknelig.Av detta följer att mängden avtranscendentatal äröveruppräknelig,eftersommängdenav dereella talenRär överuppräknelig och
$\mathbb {R} =\{$x: x är ett algebraiskt tal$\}\cup \{$x: x är ett transcendent tal$\}\,$.

Approximation av algebraiska tal

EnligtAbel-Ruffinis satskan algebraiska tal av grad fem och högre generellt inte uttryckas i termer av ändligt många heltal, aritmetiska operationer, och rotutdragningar. Med andra ord: Det går inte att finna en allmän lösningsformel för femte- eller högregradsekvationer, om man kräver att denna lösningsformel skall bestå av ändligt många heltal som adderas, subtraheras, divideras, multipliceras eller tas roten ur.

Exempel på sådana formler är den allmänna lösningsformeln förandragradsekvationerochCardanos formelför den allmännatredjegradsekvationen.

Eftersom det finns effektiva numeriska metoder för att lösa polynomekvationer, kan dock alla algebraiska tal effektivt approximeras med rationella tal.

Emellertid gäller det att om$\alpha$är ett algebraisktirrationellttal ochpochqär godtyckliga heltal och$\epsilon$ett positivt tal, så existerar det en konstant$C(\alpha,\epsilon )$som gör att följande olikhet är uppfylld:

$\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {C(\alpha,\epsilon )}{q^{2+\epsilon }}}.\qquad {\text{Roths sats}}$

Algebraiska irrationella tal kan alltså inte approximeras godtyckligt väl av rationella tal; denna egenskap kan användas för att visa att vissa tal inte är algebraiska. Genom att använda sig av ett svagare resultat än Roths sats lyckadesJoseph Liouvillevisa att följande serie inte representerar ett algebraiskt tal:

$\sum _{n=0}^{\infty }10^{-n!}=0,1+0,1+0,01+0,000001+0,000000000000000000000001+\cdots.$

Se även

• Kroppsutvidgning
• Splittringskropp
• Enhetsrot
• Galoisteori

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rörAlgebraiska tal.
  Bilder & media