Enandragradsfunktion är enpolynomfunktion av andra graden.
f
(
x
)
=
a
x
2
|
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
}
{\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
|
b
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
|
b
=
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}\!}
Grafen till en andragradsfunktion
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
av envariabel är enparabel .Andragradskurva grafen till en andragradsfunktion .Grafen till en andragradsfunktion är en andragradskurva, men en andragradskurva måste inte vara grafen till en andragradsfunktion av en variabel.
Om a > 0 har funktionen enminimipunkt och går mot
∞
{\displaystyle \infty }
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Om a < 0 har funktionen enmaximipunkt och går mot
−
∞
{\displaystyle -\infty }
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Minimum/maximum-punkten kallasfunktionsgrafens vertex och linjen parallell medy -axeln genom vertex, kallas grafenssymmetrilinje .
Genomkvadratkomplettering kan andragradsfunktionen av en variabel skrivas som
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
+
c
a
)
=
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)=}
a
(
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
a
−
(
b
2
a
)
2
)
=
{\displaystyle a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)=}
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
Funktionens minimum eller maximum uppnås då kvadraten är noll, det vill säga då
(
x
,
f
(
x
)
)
=
(
−
b
2
a
,
c
−
b
2
4
a
)
{\displaystyle (x,\,f(x))=\left(-{\frac {b}{2a}},\,c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}
Dessutom visar ekvationen att graferna till alla andragradsfunktioner av en variabel är likformiga.
Andragradsfunktioner kan generellt skrivas på formen
f
(
x
)
=
∑
a
i
x
i
2
+
∑
i
>
j
b
i
j
x
i
x
j
+
∑
c
i
x
i
+
d
{\displaystyle f(x)=\sum a_{i}x_{i}^{2}+\sum _{i>j}b_{ij}x_{i}x_{j}+\sum c_{i}x_{i}+d}
där
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
i
j
{\displaystyle b_{ij}}
c
i
{\displaystyle c_{i}}
d
{\displaystyle d}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
