Axiom
Ettaxiom(latinaxioma,avgrἀξίωμα,'värde', 'åsikt') är i vardagliga sammanhang ett självklart påstående vars sanningshalt inte kan betvivlas. Inomlogikär ett axiom engrundsatsi ett deduktivt system som inte kan bevisas inom ramen för systemet i fråga.[1]I den äldre vetenskapsteoretiska traditionen antog man att axiomen måste vara uppenbart sanna, och att ett bevis för ett axiom var överflödigt eftersom axiomets giltighet insågs omedelbart. I modernare teorier har denna tanke övergivits för en syn som helt bygger på konventioner, utan hänvisning till begrepp som sanning eller falskhet. Axiomen är helt enkelt de satser vilka man kommit överens om att använda som grund.[2]
Ett system, vars fundament är ett antal axiom, kallas för ett axiomatiserat system och i ett sådant benämns de satser, som kan härledas med hjälp av axiomen, förteorem.Alla härledda satser som inte är axiom är således teorem. Iformella systemär axiomen definierade utan hänvisning till någon tolkning. Exempel på axiomatiskt uppbyggda system är geometrien iEuklidesElementa,Peanos axiomsystemochsatslogikensformella system.[3]
Etymologi
[redigera|redigera wikitext]Ordet "axiom" kommer från detgrekiskaordet ἀξίωμα (axioma), ettverbalsubstantivfrån verbet ἀξιόειν (axioein), vilket betyderatt anse värdig,men också att behöva, kräva, som i sin tur kommer från ἄξιος, vilket betyder att "vara i balans", och därigenom "ha samma värde (som)", "värdig", "proper". Bland de antika grekiskafilosofernavar ett axiom ett påstående som kunde ses som uppenbart och otvivelaktigt och som därmed inte krävde något bevis. Grundbetydelsen av ordetpostuleraär attbegära.Exempelvis begärEuklidesav oss, att vi instämmer i att vissa saker kan göras, exempelvis att vilka två punkter som helst kan sammanfogas med enrät linje,och så vidare.[4]
Antika geometriker skilde på axiom ochpostulat.MedanProkloskommenterade Euklides bok anmärkte han att "Geminusvidhöll att hans fjärde postulat inte borde klassificeras som ett postulat utan som ett axiom, då det inte, som de första tre postulaten, uttrycker möjligheten av viss konstruktion, men uttrycker en nödvändig egenskap ".[5]Boethiusöversattepostulattillpetitiooch kallade axiomen förnotiones communesmen det användandet var inte lika tydligt i senare manuskript.
Axiomatiska system
[redigera|redigera wikitext]Ettsystemkallas axiomatiskt om allateoremi systemet kanhärledasfrån axiomen, samt om alla begrepp som används är definierade i termer av på förhand givna, mer primitiva begrepp. Enmängdav axiom kallas för ett axiomsystem eller en axiomuppsättning. Ilogikenkallas detta ofta för enteori,men där kan även "teori" syfta på hela mängden av teorem, som följer av axiomsystemet. Det första exemplet på ett axiomatiskt system ärEuklidesantikageometri,som presenteras i bokenElementa.Detta system innehåller fem axiom, varav det femte är det kända och kontroversiellaparallellaxiomet.Alla teorem i dåtidensmatematikkan härledas från axiomen.[6]
Studiet av axiomatiska system har under 1900-talet bildat en egen disciplin inom logik. Ett viktigt resultat ärGödels ofullständighetsteorem,som visar att alla axiomatiska system som innehåller den vanliga teorin om addition ochmultiplikationär ofullständiga.[6]
Berömda axiom
[redigera|redigera wikitext]Berömda axiomsystem
[redigera|redigera wikitext]Se även
[redigera|redigera wikitext]Referenser
[redigera|redigera wikitext]- ^Jämför Bengt Stolt,Über Axiomenssysteme die eine abstrakte Gruppen bestimmen.Uppsala 1953.
- ^Dalén, Uno (redaktör)(1961–1967).” Band 1, Axiom”.Bonniers lexikon.Stockholm:ABNordiska Uppslagsböcker.sid. 1047.Libris8198071
- ^H. Kahane, Logic and Philosophy, Wadsworth 1963.
- ^Wolff, P. Breakthroughs in Mathematics, 1963, New York: New American Library, ss 47–48
- ^"Geminusheld that this [4th] Postulate should not be classed as a postulate but as an axiom, since it does not, like the first three Postulates, assert the possibility of some construction but expresses an essential property "Heath, T.1956. The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover.s200
- ^ [ab]AxiomiNationalencyklopedinsnätupplaga.
Externa länkar
[redigera|redigera wikitext]
Wiktionary har ett uppslag omaxiom.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||