Banachrum

Banachrumär imatematikeni allmänhet oändligdimensionella rum avfunktioner.Banachrum är uppkallat efterStefan Banachsom studerade dem, ett av de centrala objekten inomfunktionalanalys.

Definition

Ett Banachrum definieras som ettfullständigtnormerat vektorrum.Detta betyder att ett Banachrum är ettreelltellerkomplextvektorrumV,med ennorm||.|| sådan att varjeCauchyföljd(med avseende påmetrikend(x,y) = ||x-y||) iVhar ettgränsvärdeiV.

Exempel

LåtKhädanefter stå för antingenRellerC.

De vanligaEuklidiska rummenKⁿ,där denEuklidiska normenavx= (x₁,...,x_n) ges av ||x|| = (∑ |x_i|²)^1/2,är ett Banachrum.

Rummet av allakontinuerligafunktionerf:[a,b] →Kdefinierade på ett slutetintervall[a,b] blir ett Banachrum om vi definierar normen av en sådan funktion som ||f|| = sup { |f(x)|:xi [a,b] }. Detta är verkligen en norm eftersom kontinuerliga funktioner definierade på ett slutet intervall är begränsade. Rummet är fullständigt med denna norm, och det resulterande Banachrummet betecknas med C[a,b]. Detta exempel kan generaliseras till rummet C(X) av alla kontinuerliga funktionerX →K,därXär ettkompaktrum, eller till rummet av allabegränsadekontinuerliga funktionerX→ K,därXär någottopologiskt rum,eller till rummet B(X) av alla begränsade funktionerX→K,därXär någonmängd.I alla dessa exempel så kan vi multiplicera funktioner och stanna i samma rum: alla dessa exempel är i själva verket unitäraBanachalgebror.

Omp≥ 1 är ettreellt talså kan vi betrakta rummet av alla oändligaföljder(x₁,x₂,x₃,...) av element iKsådana att deoändliga serierna∑ |x_i|^pkonvergerar.Denp-te roten av seriens värde definieras då till att blip-normen av följden. Rummet, tillsammans med denna norm, är ett Banachrum och betecknas medl^p.

Banachrummetl^∞består av alla begränsade följder av element iK;normen av en sådan följd definieras till att varasupremumavabsolutbeloppetav elementen i följden.

Vidare, omp≥ 1 är ett reellt tal så kan vi betrakta alla funktionerf:[a,b]→Ksådana att |f|^pärLebesgueintegrabel.Denp-te roten av integralen definieras då till att vara normen avf.Detta rum är inte i sig ett Banachrum, eftersom det existerarnollskilda funktionermed norm noll. Vi definierar enekvivalensrelationenligt:fochgär ekvivalentaommnormen avf-gär noll. Mängden avekvivalensklasserformar då ett Banachrum; det betecknas med L^p[a,b]. Det är nödvändigt att använda Lebesgueintegralen och inte Riemannintegralen här, eftersom Riemannintegralen inte skulle ge ett fullständigt rum. Dessa exempel kan generaliseras; seL^p-rumför fler detaljer.

Slutligen, varjeHilbertrumär ett Banachrum, men omvändningen gäller inte.

Linjära operatorer

OmVochWär Banachrum, antingen båda komplexa eller båda reella, (K=RellerK=C) så betecknas mängden av allakontinuerliga K-linjära avbildningarA:V→W med L(V,W). Observera att i oändlig-dimensionella rum så är inte alla linjära avbildningar automatiskt kontinuerliga. L(V,W) är ett vektorrum, och genom att definiera normen ||A|| = sup { ||Ax||:xiVmed ||x|| ≤ 1 } så kan det ges strukturen av ett Banachrum.

Rummet L(V) = L(V,V) ger till och med enBanachalgebra;multiplikationsoperationen ges avkompositionenav linjära avbildningar.

Derivator

Det är möjligt att definiera enderivataav en funktionf:V→Wmellan två Banachrum. För att få en bild av det hela kan man tänka sig följande: omxär ett element iVär derivatan avfi punktenxen kontinuerlig linjär avbildning som approximerarfnärax.

Formellt kallasfderiverbari punktenxom det existerar en kontinuerlig linjär avbildningA:V→Wsådan att

lim_h→0||f(x+h) -f(x) -A(h)|| / ||h|| = 0

Gränsvärdethär tages över allaföljderav noll-skilda element iVsom konvergerar mot 0. Om gränsvärdet existerar så skriver vi Df(x) =Aoch kallar det derivatan avfi punktenx.

Detta derivatabegrepp är faktiskt en generalisering av den vanliga derivatan av funktionerR→R,eftersom den linjära avbildningen frånRtillRär just multiplikation med reella tal.

Omfär deriverbar ivarjepunktxavVär Df:V→L(V,W) en annan avbildning mellan Banachrum (generellt sett inte en linjär avbildning!), och kan möjligen bli deriverad igen, och på så vis definiera högre derivator avf.Denn-te derivatan i en punktxkan då ses som enmultilinjär avbildningVⁿ→W.

Derivering är en linjär operation i följande mening: omfochgär två avbildningarV-Wsom är deriverbara ix,samtrochsär skalärer frånK,ärrf+sgderiverbara ixmed D(rf + sg)(x) =rD(f)(x) +sD(g)(x).

Kedjeregelngäller även i dessa sammanhang: omf:V→Wär deriverbar i punktenxiV,ochg:W→Xär deriverbar i punktenf(x) är kompositionengofderiverbar ixoch derivatan är kompositionen av derivator:

D(gof)(x) = D(g)(f(x)) o D(f)(x)

Dualrum

OmVär ett Banachrum ochKär antingenRellerCså ärKsjälv ett Banachrum (medabsolutbeloppetsom norm) och vi kan definieradualrummetVdärV= L(V,K). Detta är åter ett Banachrum. Det kan användas för att definiera en nytopologipåV:densvaga topologin.

Det finns en naturlig avbildningFfrånVtillV''definierad genom

F(x)(f) =f(x)

för allaxiVochfiV'.Som en följd avHahn-Banachs satsär avbildningeninjektiv;om den även ärsurjektivkallas BanachrummetVreflexivt.Reflexiva rum har många viktiga geometriska egenskaper. Ett rum är reflexivtommdess dualrum är reflexivt, vilket är falletommdessenhetsklotärkompakti den svaga topologin.

Generaliseringar

Åtskilliga viktiga rum i funktionalanalys, till exempel rummet av allaoändligt deriverbara funktionerR→Reller rummet av alladistributionerpåR,ärfullständigamen intenormeradevektorrum och därmed inte Banachrum. IFréchetrumhar man fortfarande en fullständigmetrik,medanLF-rumär fullständigalikformiga vektorrumsom uppstår som gränser av Fréchetrum.

Se även

• Metrik
  • Metriskt rum
  • Pseudometrik

• Inre produkt
  • Hilbertrum

• Pseudonorm
• Riesz representationssats
• Algebraiskt reflexivt rum

• Tabell över matematiska symboler

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rörBanachrum.
  Bilder & media