Gruppverkan

Gruppverkanär ett begrepp inommatematiksom beskriver hur engruppselement verkar på enmängd.Genom en gruppverkan definierar varje element i en grupp enpermutation(enbijektivavbildning) av en mängd till sig själv.

Definition

Envänstergruppverkanav en gruppGpå en mängdXär en avbildning frånG×XtillX,ofta skrivet

$(g,x)\mapsto g.x$

förgiGochxiX.(g,x) är alltså ett element iG×Xochg.xär ett element iX.En vänstergruppverkan ska dessutom uppfylla följande villkor:

• Verkan av detneutrala elementeteiGär identitetsavbildningen påX,dvse.x=xför allaxiX.
• Verkan av ett elementg₂påg₁.xär lika med verkan avg₂g₁påx,dvs:g₂.(g₁.x) = (g₂g₁).x.

Enhögergruppverkandefinieras likartat som en funktion frånX×GtillXså att

• (x.g₂).g₁=x.(g₂g₁).
• x.e=x.

Skillnaden mellan en vänster- och högergruppverkan är i vilken ordning en produktg₂g₁verkar på ett elementx.För en vänstergruppverkan verkarg₁först, följt avg₂.I en högergruppverkan verkarg₂först, följt avg₁.

Varje högergruppverkan kan omvandlas till en vänstergruppverkan (och vice versa), därför kommer bara vänstergruppverkningar behandlas i resten av artikeln.

Exempel

• Dentriviala verkanav en gruppGpå en mängdxär den verkan därg.x=xför allagiG.
• Ensymmetrisk gruppverkar på sin underliggande mängd som permutationer.
• Symmetrigruppen till en geometrisk figur verkar på mängden av punkter i figuren.
• Enautomorfigrupptill exempelvis ett objekt (exempelvis ettvektorrumeller engraf) verkar på objektet.

Typer av gruppverkan

En verkan avGpåXsäges vara

• TransitivomXinte är tom och om för varje par av elementx,yiXfinns ettgiGså attg.x=y.
• Trogenom det för alla par av distinkta elementg₁ochg₂finns ett element ixså attg₁.xinte är lika medg₂.x.Ett ekvivalent villkor är att det neutrala elementet iGär det enda element iGsom har samtliga punkter iXsom fixpunkter under gruppverkan.

Banor och stabilisatorer

LåtGvara en grupp som verkar på en mängdX.Bananför ett elementxiXär de punkter som kan nås frånXmed något element frånG.Banan tillxbetecknasGxeller Orb_G(x):

$\operatorname {Orb} _{G}(x)=Gx=\{g.x\mid g\in G\}$

Mängden av banor under verkan avGbildar enpartitionavXoch enekvivalensrelation~ kan definieras genom attx~yom och endast om det finns ettgiGså attg.x=y.Banorna är då ekvivalensklasserna.

För varje elementxiXkan man definierastabilisatornG_xtillxunder verkan avG:

$G_{x}=\{g\in G:g.x=x\}$.

Stabilisatorn till ett elementxbildar endelgrupptillG.

Längden av en banaGxär antaletsidoklasseriGrelativt delgruppenG_x,G_x:s index.

Burnsides lemmasäger att antalet banor för en ändlig gruppGär lika med

${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X_{g}|$

därX_gär mängden avfixpunkteriXtill elementetgunder gruppverkan.\

Källor

• Svensson, Per-Anders (2001).Abstrakt Algebra.Studentlitteratur.ISBN 91-44-01262-4
• Grillet, Pierre Antoine (2007).Abstract Algebra.Springer Verlag.ISBN 978-0-387-71567-4
• ”Algebra grundkurs anteckningar”(PDF).http://www.math.kth.se/math/GRU/2008.2009/SF2703/Material/090127.pdf.Läst 11 juli 2011.