Konvergens (matematik)

Konvergensär inom matematik en egenskap hos vissaföljder,det vill säga sekvenser av objekt$x_{i}$.Dessa är konvergenta om de närmar sig ett fixt objekt$x$.

Med att ensummaär konvergent menas att följden av dess partialsummor är konvergent.

Formellt är en följd$\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$i ettmetriskt rumXkonvergent om det finns ett elementxi rummetXsådant att

För varje$\epsilon >0$så finns$N\in \mathbb {N}$så att om$i>N$så gäller

$d(x_{i},x)<\epsilon$.

I ett allmänttopologiskt rumX sägs följden$\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$konvergera motx,om det för varje omgivning U tillxgäller att$X\setminus U$endast innehåller ändligt många element från följden ovan.

Motsatsen är att följden ärdivergent.

I ett fullständigt metriskt rum är allaCauchy-följderkonvergenta.Stolz–Cesàros satskan användas för att avgöra om en serie är konvergent.

Exempel

1. IRär talföljden 1, 1/2, 1/4, 1/8,... konvergent, och den konvergerar mot 0. Talföljden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4,... konvergerar även den, i detta fallet mot 2.
2. I rummet av allareella talstörre än (eller lika med) 0, konvergerar följden 1, 1/2, 1/3, 1/4,... mot 0. Däremot är följden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/3,..., denharmoniska serien,divergentoch växer mot oändligheten.

Funktionsföljder

Man kan också betrakta konvergens av en följd av funktioner$f_{n}$definierade på någotintervall,$I$,av de reella talen eller allmänt en godtycklig mängd. Man säger att$f_{n}$konvergerar punktvis till$f$om$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$för alla$x$i$I$.