Modulär form

Inommatematikenär enmodulär formen (komplex)analytisk funktioni övre halvplanet som satisfierar en vissfunktionalekvationmed avseende pågruppverkanavmodulära gruppen,samt satisfierar ett visst krav på tillväxten. Teorin om modulära former är en del avkomplex analys.Modulära former är viktiga inomtalteorioch förekommer även inomalgebraisk topologiochsträngteori.

Modulära former för SL₂(Z)

En modulär form av viktkförmodulära gruppen

$SL(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right),a,b,c,d\in \mathbf {Z},ad-bc=1\right\}$

är en komplexvärd funktionfi övre halvplanetH= {z∈C,Im(z) > 0},som satisfierar följande tre krav: för det första ärfenanalytisk funktionöverH.För det andra gäller för allaziHoch en godtycklig matris i SL(2,Z) ekvationen

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).$

För det tredje börfvara analytisk dåz→i∞.Viktenkär vanligen ett positivtheltal.

Det andra kravet, med matriserna$S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$och$T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)$,är

$f(-1/z)=z^{k}f(z)\,$

och

$f(z+1)=f(z)\,$.

EftersomSochTgenererar modulära gruppen SL(2,Z) är det andra kravet ovan ekvivalent till dessa två ekvationer. Notera att eftersom

$f(z+1)=f(z)$

är modulära funktionerperiodiska funktionermed period 1 och har härmed enFourierserie.

Notera att för uddakkan bara 0 satisfiera det andra kravet.

Exempel

Funktionen som är konstant lika med noll är en modulär form av vikt k för alla tal k.

Varjekonstant funktionär en modulär form av vikt 0.

Dedekinds etafunktiondefinieras som

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.$

Då ärden modulära diskriminantenΔ(z) = η(z)²⁴en modulär form av vikt 12.

Automorfiska faktorer och andra generaliseringar

Modulära former kan generaliseras genom att tillåta existensen av en funktion$\varepsilon (a,b,c,d)$med$\left|\varepsilon (a,b,c,d)\right|=1$så att

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).$

Funktioner av formen$\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$är kända somautomorfiska faktorer.

En annan generalisering ärHilbert-modulära former.Ytterligare en generalisering ärSiegel-modulära former.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material frånengelskspråkiga Wikipedia,Modular form,29 december 2013.

Se även

• Taniyama-Shimuras sats

Källor

• Jean-Pierre Serre,A Course in Arithmetic.Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973.Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Tom M. Apostol,Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory(1990), Springer-Verlag, New York.ISBN 0-387-97127-0
• Goro Shimura,Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions.Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971.Provides a more advanced treatment.
• Stephen Gelbart,Automorphic forms on adele groups.Annals of MathematicsStudies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975.Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Robert A. Rankin,Modular forms and functions,(1977) Cambridge University Press, Cambridge.ISBN 0-521-21212-X
• Stein's notes on Ribet's courseModular Forms and Hecke Operators
• Erich Hecke,Mathematische Werke,Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• N.P. Skoruppa,D. Zagier,Jacobi forms and a certain space of modular forms,Inventiones Mathematicae,1988, Springer