Polygontal
Polygontalär etttalsom representerar antalet punkter i enregelbunden polygon.
Definition och exempel
[redigera|redigera wikitext]Talet 10, till exempel, är ett triangeltal och kan ordnas som entriangel.
Men talet 10 kan inte ordnas som enkvadrat.Talet 9, som är ettkvadrattal,kan däremot det.
Talet 36, som är ettkvadrattriangulärt tal,kan ordnas både som en kvadrat och en triangel.
Regeln för att förstora polygonen till nästa storlek är att förlänga två närliggande armar av en punkt och sedan lägga till de nödvändiga extra sidor mellan dessa punkter. Nedan visas varje extra lager i rött.
Triangeltal
[redigera|redigera wikitext]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Polygonal_Number_3.gif/500px-Polygonal_Number_3.gif)
Kvadrattal
[redigera|redigera wikitext]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Polygonal_Number_4.gif/500px-Polygonal_Number_4.gif)
Polygoner med högre antal sidor kan också byggas enligt denna regel.
Pentagontal
[redigera|redigera wikitext]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Polygonal_Number_5.gif/500px-Polygonal_Number_5.gif)
Hexagontal
[redigera|redigera wikitext]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Polygonal_Number_6.gif/500px-Polygonal_Number_6.gif)
Formler
[redigera|redigera wikitext]Formeln för detn:tes-gontaletP(s,n) därsär antalet sidor i en polygon är
eller
Detn:tes-gontalet är också relaterat till triangeltalenTnenligt följande:
Således:
För ett givets-gontalP(s,n) =x,kan man hittangenom:
Tabell över värden
[redigera|redigera wikitext]s | Namn | Formel | n | Summan avreciproka[1] | OEIS | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||||
3 | Triangeltal | ½(n²+n) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | A000217 | |
4 | Kvadrattal | n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | A000290 | |
5 | Pentagontal | ½(3n² -n) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | A000326 | |
6 | Hexagontal | ½(4n² - 2n) | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | A000384 | |
7 | Heptagontal | ½(5n² - 3n) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | [2] | A000566 |
8 | Oktogontal | ½(6n² - 4n) | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | A000567 | |
9 | Nonagontal | ½(7n² - 5n) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | A001106 | |
10 | Dekagontal | ½(8n² - 6n) | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | A001107 | |
11 | Hendekagontal | ½(9n² - 7n) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | A051682 | |
12 | Dodekagontal | ½(10n² - 8n) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | A051624 | |
13 | Tridekagontal | ½(11n² - 9n) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | A051865 | |
14 | Tetradekagontal | ½(12n² - 10n) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | A051866 | |
15 | Pentadekagontal | ½(13n² - 11n) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | A051867 | |
16 | Hexadekagontal | ½(14n² - 12n) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | A051868 | |
17 | Heptadekagontal | ½(15n² - 13n) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | A051869 | |
18 | Oktodekagontal | ½(16n² - 14n) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | A051870 | |
19 | Nonadekagontal | ½(17n² - 15n) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | A051871 | |
20 | Ikosagontal | ½(18n² - 16n) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | A051872 | |
21 | Ikosihenagontal | ½(19n² - 17n) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | A051873 | |
22 | Ikosidigontal | ½(20n² - 18n) | 1 | 22 | 63 | 124 | 205 | 306 | 427 | 568 | 729 | 910 | A051874 | |
23 | Ikositrigontal | ½(21n² - 19n) | 1 | 23 | 66 | 130 | 215 | 321 | 448 | 596 | 765 | 955 | A051875 | |
24 | Ikositetragontal | ½(22n² - 20n) | 1 | 24 | 69 | 136 | 225 | 336 | 469 | 624 | 801 | 1000 | A051876 | |
10000 | Myriagontal | ½(9998n² - 9996n) | 1 | 10000 | 29997 | 59992 | 99985 | 149976 | 209965 | 279952 | 359937 | 449920 | A167149 |
Kombinationer
[redigera|redigera wikitext]Vissa tal, till exempel 36 som både är ett kvadrattal och ett triangeltal, kan ordnas med fler än en polygoner. I tabellen nedan visas olika kombinationer av polygoner.
s | t | Tal | OEIS |
---|---|---|---|
4 | 3 | 1, 36, 1225, 41616,… | A001110 |
5 | 3 | 1, 210, 40755, 7906276,… | A014979 |
5 | 4 | 1, 9801, 94109401,… | A036353 |
6 | 3 | Alla hexagontal är även triangeltal | A000384 |
6 | 4 | 1, 1225, 1413721, 1631432881,… | A046177 |
6 | 5 | 1, 40755, 1533776805,… | A046180 |
7 | 3 | 1, 55, 121771, 5720653,… | A046194 |
7 | 4 | 1, 81, 5929, 2307361,… | A036354 |
7 | 5 | 1, 4347, 16701685, 64167869935,… | A048900 |
7 | 6 | 1, 121771, 12625478965,… | A048903 |
8 | 3 | 1, 21, 11781, 203841,… | A046183 |
8 | 4 | 1, 225, 43681, 8473921,… | A036428 |
8 | 5 | 1, 176, 1575425, 234631320,… | A046189 |
8 | 6 | 1, 11781, 113123361,… | A046192 |
8 | 7 | 1, 297045, 69010153345,… | A048906 |
9 | 3 | 1, 325, 82621, 20985481,… | A048909 |
9 | 4 | 1, 9, 1089, 8281, 978121,… | A036411 |
9 | 5 | 1, 651, 180868051,… | A048915 |
9 | 6 | 1, 325, 5330229625,… | A048918 |
9 | 7 | 1, 26884, 542041975,… | A048921 |
9 | 8 | 1, 631125, 286703855361,… | A048924 |
I vissa fall, till exempels= 10 ocht= 4, finns det inga tal i båda polygonerna förutom 1.
För fallets= 4 ocht= 3, sekvadrattriangulärt tal.
Källor
[redigera|redigera wikitext]- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material frånengelskspråkiga Wikipedia,Polygonal number,26 juni 2013.
- The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers,David Wells (Penguin Books, 1997)ISBN 0-14-026149-4
- Polygonal numbers at PlanetMath
- Weisstein, Eric W., "Polygonal Numbers",MathWorld.
- F. Tapson (1999).The Oxford Mathematics Study Dictionary(2nd). Oxford University Press. sid. 88-89.ISBN 0-19-914-567-9
Fotnoter
[redigera|redigera wikitext]- ^”Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers”.Arkiverad frånoriginaletden 29 maj 2013.https://web.archive.org/web/20130529032918/http://www.math.psu.edu/sellersj/downey_ong_sellers_cmj_preprint.pdf.Läst 26 juni 2013.
- ^”Sums of Reciprocals of Polygonal Numbers and a Theorem of Gauss”.Society for Industrial and Applied Mathematics. Arkiverad frånoriginaletden 15 juni 2011.https://web.archive.org/web/20110615085610/http://www.siam.org/journals/problems/downloadfiles/07-003s.pdf.Läst 13 juni 2010.
|