Sfär

För andra betydelser, seSfär (olika betydelser).

En 2-dimensionell projektion av en sfär

Ensfärär enklotformadkropps yta. Allapunkterpå en sfär befinner sig på samma avstånd till sfärensmedelpunkt(centrum) – detta avstånd kallasradieoch betecknasr.

Sfärens area är

$A=4\pi \cdot r^{2}$

och det tillhörande klotets volym är

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

För den som vill lära sig formlerna utantill kan det underlätta att lägga på minnet att uttrycket för arean är volymuttrycketsderivatamed avseende pår.

Sfären är den minsta yta som kan omsluta en given volym. I naturen är exempelvis luftbubblor och vattendroppar (frånsettgravitationeller annan påverkan) klotformiga eftersom ytspänningen strävar efter att minimera ytan.

En sfär eller ett klot som omsluts av encylinderhar en volym som är 2/3 av cylinderns volym, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och volym) redanArkimedeskände till.

$V={\frac {2}{3}}\cdot Bh={\frac {2}{3}}\cdot \pi r^{2}\cdot 2r={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

Terminologi

Givet en punkt på en sfär, så kallas den punkt som ligger mittemot denna punkt på enrät linjegenom centrum, för dessantipod.En cirkel som ligger på en sfär med samma radie och mittpunkt som sfären kallas enstorcirkel.Varje storcirkel delar sfären i två halvklot, eller hemisfärer för himlakroppars halvor.

I likhet med jordytan betecknas ibland en speciell punkt på sfären förnordpol.Dess antipod kallas dåsydpol,och storcirkeln mitt emellan kallasekvator.

Analytisk geometri

Inomanalytisk geometribeskrivs en sfärisk yta med radienroch centrum i punkten (x₀,y₀,z₀), som alla punkter (x,y,z) iR³sådana att

$\ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$

Alternativt kan sfären beskrivas genom endifferentialekvation:

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0$

Hypersfärer

En sfär kan definieras för alla dimensioner. En sfär iRⁿkan beskrivas med ekvationenerna

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=r^{2}{\mbox{ eller }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,dx_{i}=0$

där$(x_{1}\ldots x_{n})$ärkoordinaternaförRⁿ.Man talar om "n-dimensionell hypersfär", eller "n-hypersfär".

I synnerhet är då en sfär i ett 1-dimensionellt rum ett par punkter (r,-r), medan en sfär i ett 2-dimensionellt rum är encirkel.Inomkosmologinär ett vanligt angreppssätt att betraktauniversumsom en 4-dimensionell hypersfär medtidensom radie och rummet som dess tredimensionella yta. På engelska kallas en sådan kropp ibland förglome,men3-sphereär det vanligaste uttrycket.

Det visar sig att ytan av en sfär av radieri ettn-dimensionellt euklidiskt rum (denna sfär kallas en (n-1)-dimensionell hypersfär) ges av formeln

$2{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}r^{n}$

där Γ ärEulersgammafunktion.