Vinkel

För det journalistiska begreppet, seVinkel (journalistik).

Envinkeleller ettvinkelområdeär ett område av ettplan,begränsat av tvåstrålar,det vill säga delar avräta linjersom skär varandra i en punkt.^[1]Strålarna utgör vinkelområdetsrand,och kallas för vinkelnsben.Skärningspunkten (och ändpunkten för strålarna) kallas förvinkelspets.Normalt markeras en vinkel med en vinkelbåge. Vinkelbegreppet används inomtrigonometriochgeometri.

För att mäta vinklar ritas en cirkelbåge med centrum i vinkelspetsen.Radianmåttetför vinkeln är längden av bågen mellan vinkelbenen dividerad med cirkelns radie. Vanligen uttrycks dock vinkeln igrader

\theta ({\text{radianer}})={\frac {\text{båglängd}}{\text{radien}}}

\theta ({\text{grader}})={\frac {\text{båglängd}}{\text{omkretsen}}}\cdot 360

Symbolen för enhetengradär en lite upphöjd cirkel (°).

Ibland, men inte så ofta, förekommer gradmåttetgon(nygrader).

I militära sammanhang har man använt vinkelmåttetstreck(betecknas med en apostrof:'), utgående från att en meters sidoförskjutning på 1000 meters håll är ett streck. Av praktiska skäl avrundas 2π·1000 till 6300, och det går då 6300' på ett varv. Den avrundningen gjordes tidigare i Sverige, i andra länder förekommer det andra praktiska avrundningar till bland annat 6000 eller 6400 streck på ett varv. Det senare används numera i Sverige under beteckningen mils.

Namn	Varv	Grader	Radianer	Gon(nygrader)	Bågminuter	Bågsekunder
Spetsig	(0,¹⁄₄)	(0,90)°	(0,¹⁄₂π)	(0,100)^g	(0;1,5)′	(0,1575)'
Rät	¹⁄₄	90°	¹⁄₂π	100^g	1,5′	1575'
Trubbig	(¹⁄₄,¹⁄₂)	(90,180)°	(¹⁄₂π,π)	(100,200)^g	(1,5;3)′	(1575,3150)'
Rak	¹⁄₂	180°	π	200^g	3′	3150'
Reflex	(¹⁄₂,1)	(180,360)°	(π,2π)	(200,400)^g	(3,6)′	(3150,6300)'
Perigon	1	360°	2π	400^g	6′	6300'

Ennormalär en linje som skär en given linje eller kurva i rät vinkel. "Rätvinklig mot" betecknas ⊥ (se figur 1).

Figur 1. Två vinkelräta linjer.
Den ena ärnormaltill den andra.

Figur 2.
A: Cirkelsektor
B: Cirkelbåge

Cirkeln

Engrad(förtydligatvinkelgrad), vanligtvis betecknad med °, är ett mått på plana vinklar eller en position på enstorcirkel(encirkelpå ensfärmed mittpunkt som sammanfaller med sfärens mittpunkt) i ensfär,ex.jordenel. planetrörelser runt andra himlakroppar. En grad motsvarar 1/360 dels varv runt cirkelns – eller sfärens –omkrets(jfrjordens koordinatsystem).

1° motsvarar 1/360 varv runt periferin
minuter,betecknas med ettprimtecken(′), 1 minuter = (1/60)° = 1/21 600 varv,
sekunder,betecknas meddubbla primtecken(″), 1 sekund = 1/60 minut = 1/1 296 000 varv.

Ex. motsvarar 40°12′13″ 40 grader, 12 minuter och 13 sekunder, eller ungefär 11/100 varv runt jorden.

I matematiska och tekniska sammanhang används oftaradianer.En grad motsvarar π/180 rad, och ett varv runt cirkel motsvarar 2π radianer.

Ett modernt vinkelmått anpassat efter decimala systemet ärnygrader.1 nygrad motsvarar 1/400 varv runt periferin:

90° motsvarar 100 nygrader (100^g),
1^gindelas i 100 nyminuter (100^c),
1^cindelas i 100 nysekunder (100^cc).

Annat som mäts i vinkelenheter

Vinklar är alltid mellan 0 och 360, men gradtal större än 360° och negativa värden är tänkbara i andra sammanhang:

Vinkel - se ovan
Riktning:
- Kompassriktning (bäring) anges som grader för den vinkel som bildas räknat medurs från nordriktningen. Öster=90°, söder=180°, väster=270° och norr=360° eller 0°.
- Numrering av flygets start- och landningsbanor består av kompassriktningen avrundad till närmaste tiotals grader. En bana i öst-västlig riktning har då numret 09 vid start mot öster och 27 vid start mot väster.
- I ett polärt koordinatsystem räknas riktningen moturs från positiva första axeln (oftastx-axeln). I dessa fall kan man tänka sig riktningar i olika intervall såsom 0°<v<360°, -90°<v<270° eller -180°<v<180°.
Vridning. Här kan vilka som helst värden tänkas. En vridning på 450° resulterar i samma riktning som en vridning på 90°, men först efter ett helt varvs vridning. (Alltså den vridning som minutvisaren på en klocka gör på 75 minuter.)
Växelström. Fasförskjutning mellan sinusformade elektriska signaler. Två tidsförskjutna spänningar tecknas $U_{1}(sin\ \ Omega t)$ och $U_{2}(sin\ \ Omega t+\phi )$ .Vinkelfrekvensen är $\ Omega =2\pi f$ ,där $f$ är frekvensen i Hertz. Fasskillnaden $\phi$ uttrycks i grader eller radianer. Förskjutningen mellan signalerna kan även uttryckas som en tid $\nabla t=\phi /\ Omega$ .

Konvertering mellan vinkelenheter

För att konvertera en vinkel från en enhet till en annan använder man enklast tumregelntillenhet genom frånenhet.Till exempel blir det för omvandling från gon till grader:

grader=gon\cdot {\frac {360}{400}}

Vinkelmåttens historia

Gradmåttet där varvet delas in i 360 grader härstammar från detbabyloniska räknesystemet,därtalbasenvar 60. Inte oväsentligt i sammanhanget är att ett år är drygt 360 dagar långt.

Närmatematisk analysutvecklades på1600-talet, sökte man efter ett för differentialkalkylen lämpligare universellt mått, och införderadianbegreppet.

Idecimalsystemetsanda införde man på 1800-talet i Frankrike nygrader, eftersom 100 nygrader på ett kvartsvarv ser mer "naturligt" ut än 90 grader. Det underlättar vissa huvudräkningar (varje kvadrant har sin hundratalssiffra). Man slipper räknandet med sextiondedelar när man arbetar med bråkdelar av en grad. Nygrader har främst använts inomgeodesin,men inom andra områden har enheten inte fått det genomslag som man en gång förväntade sig.

Det universella vinkelmåttet ärradianereftersom detta tar bort godtyckligheten i talet 360 inom gradsystemet och eftersomtrigonometriska funktionerkan deriveras enkelt samt därmed uttryckas med enklataylorserierom deras argument är specificerat i radianer.Internationella måttenhetssystemet(SI) använderradianersom (den härledda) enheten för vinklar.

Typer av vinklar

En vinkel som är mindre än en rät vinkel (90°) kallasspetsig vinklel.
En vinkel som är större än en rät vinkel (90°), men mindre än rak vinkel (180°), kallastrubbig vinklel.
Om summan av två vinklar är en rät vinkel (90°) brukar vinklarna kallaskomplementvinklar.
Om summan av två vinklar är en rak vinkel (180°) brukar vinklarna kallassupplementvinklar.
Om summan av två vinklar är 360° brukar vinklarna kallasexplementvinklar.

Den linje, som skär två eller flera andra linjer, kallastransversal (tvärlinje) till linjerna.I varje skärningspunkt bildas fyra vinklar.

Tvåräta linjersom korsar varandra bildar fyra vinklar. Varje vinkel är likadan som motståendevertikalvinkel(se figur 2a), medan de övriga paren kallassidovinklaroch är supplementvinklar (se ovan).
Om en rät linje korsar tvåparallellalinjer bildas fler relationer.Likbelägna vinklarär lika stora, liksomalternatvinklar.Alternatvinklar är de vinklar som i figuren är vertikalvinklar till de markerade (se figur 2b), dvs. de ligger mellan de parallella linjerna men på var sin sida om den skärande linjen.

Summan av entriangels(inre tre) vinklar bildar beloppet 180°.
Summan av enfyrhörnings(inre fyra) vinklar bildar beloppet 360°
Summan av enn-sidigpolygons(inren) vinklar bildar beloppet (n- 2)·180° eller (n- 2)·π rad.

Figur 2a. Två räta linjer som korsar varandra i en gemensam punkt.

Figur 2b. Tre räta linjer som sammanfaller i två punkter.

Källor

^Sidorov, L.A. (2001),”Angle”,i Hazewinkel, Michiel,Encyclopedia of Mathematics,Springer,ISBN 978-1556080104

Externa länkar

Wiktionary har ett uppslag omvinkel.
Ordbok

Wikisource har originalverk som rörVinkel.
Vinkel
Wikimedia Commons har media som rörvinkel.
Wikidata har data som rörVinkel.
Databas

[1] Sidorov, L.A. (2001),”Angle”,i Hazewinkel, Michiel,Encyclopedia of Mathematics,Springer,ISBN 978-1556080104

[1]