Luận văn đề mục, quan vu ái đa sĩ ( Erdos ) sai tưởng đích nhất chủng giải pháp tư khảo
Trích yếu ái đa sĩ ( Erdos ) sai tưởng tựu thị đối vu bất định phương trình 4/n=1/x+1/y+1/z trung mỗi nhất cá đại vu 1 đích chỉnh sổ n, đô hữu chính chỉnh sổ giải ( x, y, z). Bổn văn lợi dụng tam thứ tề thứ phương trình đích tính chất, tại tri đạo nhậm ý nhất cá đặc giải đích tình huống hạ, khả dĩ đắc đáo nguyên phương trình đích nhất cá bộ phân thông giải. Nhiên hậu lợi dụng loại tự đãi định hệ sổ đích phương pháp, đắc đáo nhất cá quan vu 6 cá vị tri sổ đích tứ cá bất định phương trình cấu thành đích bất định phương trình tổ. Tuy nhiên hữu Schinzel luận đoạn, khả năng thử pháp vô hiệu, đãn đối vu m/n=1/x+1/y+1/z chi loại đích loại ái đa sĩ sai tưởng, dụng thử pháp khả năng hữu kỳ hiệu. Nhi thả canh trọng yếu đích thị, nhân vi đặc giải hữu vô hạn đa cá, sở dĩ dụng ngã giá chủng phương pháp cầu giải tương hữu vô hạn đa chủng kết quả, kiến nghị sổ học gia hòa sổ học ái hảo giả môn huề khởi thủ lai, trảo đáo loại ái đa sĩ sai tưởng đích mỗi nhất cá m đối ứng đích nhất cá kết quả tựu khả dĩ liễu
Quan kiện từ
Ái đa sĩ ( Erdos ) sai tưởng chính chỉnh sổ giải tam thứ tề thứ phương trình bộ phân thông giải loại tự đãi định hệ sổ pháp Schinzel luận đoạn loại ái đa sĩ sai tưởng
Chính văn
Ái đa sĩ sai tưởng thị đại sổ học gia ái đa sĩ thượng cá thế kỷ lục thập niên đại đề xuất đích nhất cá sổ học sai tưởng, cự kim quá khứ 60 đa niên liễu, cai sai tưởng nhưng nhiên một hữu hoàn toàn giải quyết. Bổn nhân lợi dụng tề thứ đâu phiên đồ phương trình cầu thông giải đích nhất chủng phương pháp, đối ái đa sĩ sai tưởng tiến hành thường thí diễn toán giải quyết, tuy thuyết giá chủng phương pháp bất nhất định lập khắc đắc kết quả tịnh tối chung giải quyết sai tưởng, đãn phương pháp hữu liễu, thặng hạ đích tựu thị thế giới thượng đích sổ học ái hảo giả hoặc giả sổ học chuyên nghiệp nhân sĩ tiến hành kế toán diễn toán liễu, thuận trứ giá điều đạo lộ, dã hứa tối chung năng giải quyết ái đa sĩ sai tưởng 4/n=1/x+1/y+1/z hoặc giả năng giải quyết 5/n=1/x+1/y+1/z, 6/n=1/x+1/y+1/z đẳng đẳng đẳng loại tự ái đa sĩ sai tưởng đích sai tưởng
Nhất ái đa sĩ sai tưởng phương trình
4/n=1/x+1/y+1/z ( 1 )
Giá thị phân thức bất định phương trình, hóa thành chỉnh thức chỉnh thức tam thứ bất định phương trình
4xyz=nxy+nxz+nyz ( 2 )
Giá thị quan vu ( n, x, y, z) đích tứ nguyên tam thứ tề thứ phương trình, nhi tề thứ phương trình đích nhất cá cầu bộ phân thông giải đích phương pháp, khả dĩ dụng ngã hạ diện cấp xuất đích phương pháp
Thủ tiên ngã môn đắc tri đạo ( 1 ) thức đích nhất cá đặc giải. Bỉ như
4/2=1/2+1/2+1/1
Kỳ trung ( n0, x0, y0, z0)= ( 2, 2, 2, 1 )
( 3 )
Tái bỉ như 4/3=1/2+1/2+1/3
Kỳ trung
( n0, x0, y0, z0)= ( 3, 2, 2, 3 )
Dĩ thử loại thôi, giá dạng năng thấu kỉ hồ vô hạn đa cá loại tự đích đặc giải,
Hiện tại ngã môn tựu dĩ ( 3 ) thức vi lệ lai cầu ( 2 ) thức đích nhất cá bộ phân thông giải
Thiết
n=mt+n0=mt+2
x=at+x0=at+2
y=bt+y0=bt+2
z=ct+z0=ct+1
( 4 )
Hoặc giả
Thiết
n=m+n0t=m+2t
x=a+x0t=a+2t
y=b+y0t=b+2t
z=c+z0t=c+t
( 5 )
Thông quá hậu diện đích kế toán hội phát hiện, lưỡng chủng thiết pháp cầu xuất đích bất định phương trình ( 2 ) thức đích bộ phân thông giải biểu đạt thức soa bất đa,
Sở dĩ ngã môn chỉ tuyển trạch kỳ nhất vi lệ, nhân nhi ngã môn bất phương tựu dĩ ( 5) thức vi lệ lai cầu ( 2 ) thức đích nhất cá bộ phân thông giải
Bả (5) thức đái nhập ( 2 ) thức, tức
4(2t+a)(2t+b)(t+c)=(2t+m)
((2t+a)(2t+b)+(2t+a)(t+c)+(2t+b)(t+abc (6)
Đẳng thức lưỡng biên triển khai tịnh hóa giản
16t^3+(8a+8b+16c)t^2+(4ab+8ac+8bc)t+4abc=16t^3+ ( 6a+6b+8c+8m ) t^2+(2ab+2ac+2bc+3am+3bm+4cm)t+(ab+ac+bc)m
(7)
Tức ( 2a+2b-8c-8m ) t^2+(2ab+6ac+6bc-3am-3bm-4cm)t+4abc-(ab+ac+bc)m
(8)
(8) vi quan vu t đích nhất nguyên nhị thứ phương trình, giản tiện khởi kiến, ngã môn khả lệnh t^2 đích hệ sổ vi 0, giá dạng nhất nguyên nhị thứ phương trình tựu biến thành nhất nguyên nhất thứ phương trình liễu, lợi vu cầu giải
Tức khả lệnh 2a+2b-8c-8m=0
Tức b=4c+4m-a
Đồng thời do (8) thức khả đắc
t=((ab+ac+bc)m-4abc)/
(2ab+6ac+6bc-3am-3bm-4cm)
=(acm+(a+c)bm-4abc)/
(2ab+6ac+6bc-3am-3bm-4cm)
=(4acm+4c^2m+4am^2+4cm^2-a^2m-16ac^2-16acm+4a^2c)/(2ab+6ac+6bc-3am-3bm-4cm)
=4c^2m+4am^2+4cm^2-a^2m-12acm-16ac^2+4a^2c)/(8ac+8ma-2a^2+24c^2+8mc-12m^2)
(9)
Nhiên hậu bả (9) thức đái nhập đáo ( 5) thức trung,
n=2t+m=(2(4c^2m+4am^2+4cm^2-a^2m-12acm-16ac^2+4a^2c)+(8ac+8ma-2a^2+24c^2+8mc-12m^2)m)/(8ac+8ma-2a^2+24c^2+8mc-12m^2)
( 10)
Đồng lý khả cầu xuất x, y, z ( lược )
x=
y=
z=
( 11 )

Nhân vi ( 2 ) thức thị tề thứ phương trình, sở dĩ nguyên phương trình (2) đích nhất cá bộ phân thông giải thị bả ( 10 ) thức, ( 11 ) thức phân mẫu toàn khứ điệu, đô chỉ lưu phân tử bộ phân, giá giá dạng tựu đắc đáo (2) thức đích nhất cá bộ phân thông giải, nhi thả thông giải hình thức vi quan vu ( m, a, c ) đích chỉnh thức đa hạng thức ( nhân vi chỉ bảo lưu phân tử, đô khứ điệu tương đồng đích phân mẫu, sở dĩ thị chỉnh thức đa hạng thức, nhi bất thị phân thức đa hạng thức )
Đãn hữu cá vấn đề, ( 10) thức trung đích phân tử, tức n đích khứ phân mẫu chỉ bảo lưu phân tử đích sở vị bộ phân thông giải biểu đạt thức đích trị minh hiển thị ngẫu sổ. Na ngã hậu diện đích giả thiết n=4s+1 hoặc giả n=3s+1 tựu vô pháp biểu đạt xuất lai, nhân vi phân mẫu vi ngẫu sổ liễu. Giá cá giải thích đích bất thị ngận thanh sở, đãi hội khán ngã hậu diện đích kế toán nhĩ tựu tri đạo liễu
Sở dĩ khả thiết a=2a1, sử t canh tiến nhất bộ hóa giản
t=(4c^2m+8a1m^2+4cm^2-4a1^2m-24a1cm-32a1c^2+16a1^2c)/(16a1c+16ma1-8a1^2+24c^2+8mc-12m^2)
=(c^2m+2a1m^2+cm^2-a1^2m-6a1cm-8a1c^2+4a1^2c)/(4a1c+4ma1-2a1^2+6c^2+2mc-3m^2)
Nhiên hậu bả t đái nhập (5) thức
Đắc n=2t+m=(8c^2m+8a1m^2+4cm^2-4a1^2m-8a1cm-16a1c^2+8a1^2c-3m^3/(4a1c+4ma1-2a1^2+6c^2+2mc-3m^2)
Tắc n đích phân tử cấu thành nguyên phương trình (2) đích nhất cá bộ phân thông giải biểu đạt hình thức, tức
n=8c^2m+8a1m^2+4cm^2-4a1^2m-8a1cm-16a1c^2+8a1^2c-3m^3 (12)
x, y, z đồng dạng chỉ thủ phân tử, lược
Nhiên hậu tái giả thiết
m=u1s+v1
a1=u2s+v2
c=u3s+v3
Đái nhập đáo ( 12 ) thức trung, nhiên hậu kế toán chỉnh lý, bả (12) thức biến thành nhất cá quan vu s đích nhất nguyên tam thứ phương trình, kế toán quá trình lược, chỉ cấp xuất kết quả
As^3+Bs^2+Cs+D=0 ( 13 )
A=8u1u3^2+4u3u1^2+8u2u1^2-4u2^2u1-8u1u2u3-16u1u3^2+8u2^2u3-3u1^3=0 ( 14 )
B=8v1u3^2+16u1u3v3+8u1v1u3+4v3v1^2+8v2u1^2+16u1v1u2-4v1u2^2-8u1u2v2-8u1v2u3-8u2v1u3-8v1u2v3-16v2u3^2-32u2u3v3+8v3u2^2+16u2v2u3-9u1^2v1=0 (15 )
C=8u1v3^2+16u3v3v1+8u1v1v3+4u3v1^2+8u2v1^2+16u1v1u2-4v2^2u1-8u2v2v1-8v1v2u3-8u1v2v3-8u2v1v3-16u2v3^2-32u3v3v2+8v2^2u3+16u2v2v3-9u1v1^2=4 hoặc giả đẳng vu kỳ tha sổ, tùy tiện tuyển trạch nhất cá dĩ tri sổ, bỉ như ＝3 hoặc giả ＝6 hoặc giả ＝8 đẳng đẳng đẳng đẳng
( 16 )

Vi thập ma tuyển trạch ＝4 hoặc giả ＝3 ni, nhân vi chỉ hữu n＝4r+1 hình chính chỉnh sổ hoàn bất tri đạo tha đích đảo sổ thị phủ đô năng phân giải thành x, y, z đích đảo sổ hòa, nhi kỳ tha đích n đẳng vu 4r, 4r+3, 4r+2 hình chính chỉnh sổ đô hữu khẳng định đích hồi đáp, tức khả dĩ phân giải thành chính chỉnh sổ x, y, z đích đảo sổ hòa, đồng dạng đích như quả C tuyển trạch ＝3, nhất dạng đích đạo lý
C tối hảo đẳng vu tứ hoặc giả tam. Cầu bất xuất lai tựu bả tứ hoán thành
Kỳ tha sổ tái cầu
D=8v1v3^2+4v3v1^2+8v2v1^2-4v1v2^2-8v1v2v3-16v2v3^2+8v3v2^2-3v1^3=1 hoặc giả đẳng vu kỳ tha chỉnh sổ hoặc giả đẳng vu kỳ tha nhậm ý kỳ sổ
(17)
Thủ tiên như quả ( 16 ) thức ＝4, ( 17 ) thức ＝1 hoặc giả nhậm hà kỳ tha 4r+1 hình chỉnh sổ, cầu xuất nhất cá tứ cá phương trình cấu thành đích phương trình tổ đặc giải ( khả dụng sổ học nhuyễn kiện sưu ), tựu năng đắc đáo
4/ ( 4s+1 ) =1/x(s)+1/y(s)+1/z(s) ( 18 ) thức
Kỳ trung x(s), y(s), z(s) đại ước thị tam cá quan vu s đích nhất nguyên tam thứ chỉnh thức đa hạng thức
Nhi thả tại tiền diện kế toán thời, hoàn yếu năng bảo chứng x(s), y(s), z(s) thị thủ hạng vi chính đích, quan vu s đích, nhất nguyên tam thứ phương trình chỉnh hệ sổ đa hạng thức
Nhị quan vu Schinzel đích luận đoạn
Ngã tại phiên duyệt 《 sổ luận trung đích vị giải quyết vấn đề 》 giá bổn thư thời, tác giả tại ai cập phân sổ giá nhất tiểu chương tiết đề đáo quá ái đa sĩ sai tưởng, tịnh đề đáo liễu quan vu Schinzel đích luận đoạn
Giá bổn thư thị 《 sổ luận trung vị giải quyết đích vấn đề 》, tác giả vi gia nã đại đích R.K. Cái y, thị quan vu Erdos sai tưởng đích. Đệ 203 hiệt
Schinzel phát hiện: Cận đương b bất thị a đích nhị thứ thặng dư thời ( a dữ b hỗ chất ), khả dĩ dụng hữu chính đích thủ hạng hệ sổ đích, r đích chỉnh đa hạng thức x(r), y(r), z(r) lai biểu kỳ
4/(ar+b)=1/x(r)+1/y(r)+1/z(r)
b như quả b thị a đích nhị thứ thặng dư, tức như quả n=4r+1 hoặc giả n=3r+1, hiển nhiên 1 thị 4 hoặc giả 3 đích nhị thứ thặng dư, nhi căn cư mạc đức nhĩ tại thư trung sở chứng minh, chỉ hữu n đồng dư vu 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 ( mod840) chi ngoại. Nhi hựu hiển nhiên 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 thị mod840 đích nhị thứ thặng dư, sở dĩ ngã giá chủng phương pháp đối vu thị phủ năng cú chứng minh ái đa sĩ sai sai tưởng hoàn thị hữu ta vấn đề
Tam loại ái đa sĩ sai tưởng
5/n=1/x+1/y+1/z, 6/n=1/x+1/y+1/z đẳng đẳng đẳng loại tự ái đa sĩ sai tưởng đích sai tưởng, nhân vi dĩ hữu Schinzel đích luận đoạn, sở dĩ dụng giá chủng phương pháp cầu ái đa sĩ sai tưởng 4/n=1/x+1/y+1/z khả năng tồn tại vấn đề, đãn đối vu m/n=1/x+1/y+1/z ( m thị chính đích chỉnh thường sổ ) loại ái đa sĩ sai tưởng dã hứa năng dụng ngã giá chủng tề thứ phương trình cầu giải nhiên hậu tái dụng loại tự đãi định hệ sổ pháp đích phương pháp, sử đắc n=ds+e, quan vu s đích nhất nguyên nhất thứ đa hạng thức.
Nhi thả 5/n=1/x+1/y+1/z dã thị thế giới nan đề, ngã bất tri đạo giá cá vấn đề thị phủ tồn tại loại tự Schinzel đối ái đa sĩ sai tưởng 4/n=1/x+1/y+1/z đích luận đoạn, như quả một hữu, na ngã giá chủng phương pháp hoàn thị ngận hữu giới trị đích.
5/n=1/x+1/y+1/z, chỉ hữu hình như 278460k+1 đích chính chỉnh sổ một hữu bị chứng minh, kỳ tha đô chứng minh liễu. Sở dĩ ngã môn đối n đẳng vu quan vu s đích nhất nguyên tam thứ chỉnh hệ sổ đa hạng thức phương trình s^3 đích hệ sổ, s^2 đích hệ sổ, s đích hệ sổ hòa thường sổ hạng phân biệt lệnh vi 0, 0, 278460( hoặc giả đẳng vu cai sổ đích chính nhân sổ ), 1. Đồng dạng m thủ kỳ tha trị đích loại ái đa sĩ sai tưởng dã khả dụng thử pháp, thuyết bất định hữu thập ma tân phát hiện? Nhi thả ngã môn hoàn khả dĩ trực tiếp bạo lực như hạ đích phương pháp
Tứ, bạo lực cầu giải pháp
Nhân vi ái đa sĩ sai tưởng hữu Schinzel luận đoạn, sở dĩ đối ái đa sĩ sai tưởng, dụng bổn văn ngã đề xuất đích phương pháp khả năng vô giải, tức
4/ ( 4s+1 ) =1/x(s)+1/y(s)+1/z(s)
Khả năng giải bất xuất lai
Sở dĩ ngã môn khả dĩ thường thí dụng bạo lực cầu giải pháp cầu giải chứng minh loại ái đa sĩ sai tưởng. Sở vị bạo lực cầu giải, tựu thị giả thiết
5/ ( as+b ) =1/x(s)+1/y(s)+1/z(s)
Đặc biệt đích
5/(278460s+1)=1/(ds+e)+1/(fs+g)+1/(hs+i)
Kỳ trung d, f, h vi chính chỉnh sổ, e, g, i vi chỉnh sổ
Hiển nhiên triển khai tịnh kế toán hậu, đắc đáo nhất cá quan vu s đích nhất nguyên tam thứ phương trình đích hằng đẳng thức, hằng đẳng vu linh, sở dĩ s^3 đích hệ sổ, s^2 đích hệ sổ, s đích hệ sổ hòa thường sổ hạng phân biệt lệnh vi 0, 0, 0, 0. Tức hằng đẳng thức đãi định hệ sổ pháp, khả đắc đáo tứ cá phương trình, lục cá vị tri sổ đích bất định phương trình tổ, nan độ hòa ngã tại cai văn trung giảng đáo đích phương pháp soa bất đa. Như quả giả thiết x(s) đẳng vu quan vu s đích nhất nguyên nhị thứ thức, kỳ tha bất biến, tắc khả dĩ đắc đáo nhất cá quan vu s đích nhất nguyên tứ thứ phương trình đích hằng đẳng thức, giá dạng tựu thị thất cá vị tri sổ, ngũ cá phương trình đích bất định phương trình tổ
Ngũ
Nhân vi dụng ngã giá chủng phương pháp, tức cầu tề thứ phương trình đích bộ phân thông giải đích phương pháp, khả dĩ cầu đắc vô sổ đa cá bất đồng đích thông giải biểu đạt hình thức, chỉ yếu cầu giải đích nguyên phương trình đích bất đồng đích đặc giải tựu hành liễu. Mỗi nhất cá đặc giải khả dĩ cầu xuất nhất cá bộ phân thông giải biểu đạt hình thức, nhi nguyên phương trình đặc giải vô sổ, sở dĩ dụng ngã giá chủng phương pháp khả dĩ cầu đắc nguyên phương trình vô sổ đa cá bất đồng đích bộ phân thông giải biểu đạt hình thức ( thủ phân tử, khứ phân mẫu ), nhiên hậu tái thiết thông giải đích mỗi nhất cá biến lượng đẳng vu quan vu s đích nhất nguyên nhất thứ biểu đạt thức hình thức, tối chung cầu giải đích n đẳng vu quan vu s đích nhất nguyên tam thứ đa hạng thức, nhi giá cá đa hạng thức tối chung chỉ thủ 4s+1 hoặc giả đẳng vu kỳ tha hình thức, giá dạng tựu đắc đáo quan vu lục cá vị tri sổ đích tứ cá phương trình cấu thành đích bất định phương trình tổ
Nhân vi ngã dĩ kinh thuyết quá liễu, giá chủng phương pháp cầu đích phương trình tổ khả dĩ hữu vô hạn tổ, chỉ yếu thủ bất đồng đích đặc giải tựu hành liễu. Đối vu loại ái đa sĩ phương trình, kiến nghị sổ học gia hòa sổ học ái hảo giả môn nhất khởi lai trảo tầm trảo mãn túc bất định phương trình tổ đích giải,

Mỗi cá nhân phân biệt dụng bất đồng đích đặc giải tiến hành cầu giải tựu khả dĩ liễu.

Điều phi long, nhĩ miêu thuật đích giá cá kỳ thật thị khiếu âu đức tư - thi đặc lao tư sai tưởng ( Erdős–Straus conjecture ), ái đa sĩ đích sai tưởng thị quan vu tố sổ gian cách đích.

Dĩ hạ thị sai tưởng đích giải thích hòa tiến triển

Vị giải quyết đích sổ luận vấn đề ( đệ nhị bản ) đệ 203 hiệt khai thủy thảo luận giá cá sai tưởng

Bút ngộ canh chính
Như quả b thị a đích nhị thứ thặng dư, tức như quả n=4r+1 hoặc giả n=3r+1, hiển nhiên 1 thị 4 hoặc giả 3 đích nhị thứ thặng dư, sở dĩ n=4r+1 hoặc giả n=3r+1, bất năng sách giải thành quan vu r đích tam cá chỉnh hệ sổ đa hạng thức đích đảo sổ hòa. Nhi căn cư mạc đức nhĩ tại thư trung sở chứng minh, chỉ hữu n đồng dư vu 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 ( mod840) chi ngoại, thử ái đa sĩ sai tưởng giai thành lập. Nhi hựu hiển nhiên 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 thị mod840 đích nhị thứ thặng dư, sở dĩ ngã giá chủng phương pháp đối vu thị phủ năng cú chứng minh ái đa sĩ sai sai tưởng hoàn thị hữu ta vấn đề

Schinzel luận đoạn đáo để năng chứng minh ngã giá chủng phương pháp vô hiệu hoàn thị chẩm ma dạng, thùy năng trảo đáo Schinzel luận đoạn đích chứng minh dã hành