Cá nhân một hữu thập ma hảo tưởng pháp

Ngã tưởng đáo chẩm ma dụng 5 tiến chế biểu kỳ lai cầu f(n) liễu

Thiết n vi phi phụ chỉnh sổ, n tại kỳ tố sổ p tiến chế hạ đích biểu kỳ vi
…a[3]a[2]a[1]a[0]
Tức n = a[0]+ a[1]×p + a[2]×p²+a[3]×p³+…
Đối nhậm ý i≥0, 0≤a[i]≤p-1
Thiết n khứ điệu tối hậu k vị sổ tự chi hậu, đắc đáo đích sổ vi A[k], dã tựu thị
A[0]=n
A[1]= a[1]+a[2]×p+a[3]×p²+…
A[2]= a[2]+a[3]×p+…
Thiết f_p(n) biểu kỳ khứ điệu n! Tại p tiến chế mạt vĩ sở hữu 0 chi hậu đích tối hậu nhất vị sổ tự, tắc 0≤f_p(n)≤p-1
Nhược n! = p^r×m, m thị dữ p hỗ tố đích chính chỉnh sổ, tắc m≡f_p(n) (mod p)
Do vu
1~n trung bất bị p chỉnh trừ đích sổ đích thừa tích ≡ [(p-1)!]^A[1]× a[0]! (mod p)
1~n trung kháp hảo bị p chỉnh trừ đích sổ, các tự trừ dĩ p chi hậu đích thừa tích ≡ 1~A[1] trung bất bị p chỉnh trừ đích sổ đích thừa tích ≡ [(p-1)!]^A[2]× a[1]! (mod p)
1~n trung kháp hảo bị p² chỉnh trừ đích sổ, các tự trừ dĩ p² chi hậu đích thừa tích ≡ 1~A[2] trung bất bị p chỉnh trừ đích sổ đích thừa tích ≡[(p-1)!]^A[3]× a[2]! (mod p)
…
Toàn bộ tương thừa chi hậu, thượng diện tối tả biên sở hữu hạng đích thừa tích chính hảo đẳng vu m, nhi tối hữu biên sở hữu hạng tương thừa đẳng vu
[(p-1)!]^[A[1]+A[2]+A[3]+…]× a[0]! × a[1]! × a[2]!…
Do uy nhĩ tốn định lý, mô p đồng dư vu
[(-1)]^[A[1]+A[2]+A[3]+…]× a[0]! × a[1]! × a[2]!…
Do vu A[1]≡a[1]+a[2]+a[3]+… (mod p-1)
p-1 thị ngẫu sổ, tắc A[1]≡a[1]+a[2]+a[3]+…(mod 2)
Đồng lý A[2]≡a[2]+a[3]+…(mod 2)
A[3]≡a[3]+…(mod 2)
…
Tương gia khả đắc A[1]+A[2]+A[3]+…≡a[1]+2a[2]+3a[3]+…≡a[1]+a[3]+…(mod 2)
Sở dĩ (-1)^[A[1]+A[2]+A[3]+…] = (-1)^[a[1]+a[3]+…)
Do dĩ thượng khả tri
f_p(n)≡(-1)^[a[1]+a[3]+…]× a[0]! × a[1]! × a[2]! ×… (mod p)
Do vu 0≤f_p(n)≤p-1, giá dã xác định liễu f_p(n) đích trị

Lánh ngoại, như quả đối 0~p²-1 chi gian đích p² cá chỉnh sổ, thiết hàm sổ F: {0, 1, 2,…, p²-1} → {1, 2,…, p-1}
Sử đắc đối chỉnh sổ t, nhược 0≤t≤p²-1 thả t=ap+b, 0≤a, b≤p-1
F(t) ≡ (-1)^a × a! × b! (mod p)
Na thượng diện đích kết luận khả dĩ biểu kỳ thành
f_p(n)≡ ∏F(a'(i)) (mod p), i=0, 1,…
Kỳ trung a'(0), a'(1),… Thị n đích p² tiến chế biểu kỳ trung tòng đê đáo cao đích các vị sổ tự

Như quả thiết n! =5^r×m, m bất bị 5 chỉnh trừ, tắc m≡f_5(n) (mod 5)
n! Chất nhân sổ phân giải thức trung 2 đích mịch thứ nhất định cao vu 5 đích mịch thứ, sở dĩ tối đa năng bị 10^r chỉnh trừ, tại 10 tiến chế trung khứ điệu mạt vĩ liên tục đích sở hữu 0, sở đắc đích kết quả thị n! / 10^r = m/2^r y nhiên thị ngẫu sổ
Đề mục trung f(n) biểu kỳ n! Khứ điệu mạt vĩ liên tục đích 0 chi hậu đích tối hậu nhất vị sổ tự, tắc 0≤f(n)≤9 thả f(n)≡n!/10^r (mod 10)
Tắc f(n)≡n!/10^r≡0(mod 2)
Hựu do vu m/2^r ≡ m×3^r (mod 5), sở dĩ f(n)≡m×3^r≡f_5(n)×3^r (mod 5)
f_5(n)(mod 5) đích kết quả khả dĩ do n đích 5 tiến chế biểu kỳ
…a[2]a[1]a[0] đắc đáo
f_5(n)≡(-1)^[a[1]+a[3]+…]× a[0]! × a[1]! × a[2]! ×… (mod 5)
r dã khả dĩ do lặc nhượng đức công thức biểu kỳ vi
r = [n/5] + [n/5²] + [n/5³]+…
= A[1] + A[2] + A[3] +…
Do vu 5 tiến chế trung sổ tự dữ sổ mã hòa mô 4 đồng dư, sở dĩ
A[1]≡a[1]+a[2]+a[3]+… (mod 4)
A[2]≡a[2]+a[3]+…(mod 4)
A[3]≡a[3]+…(mod 4)
…
Tương gia khả đắc A[1]+A[2]+A[3]+…≡a[1]+2a[2]+3a[3]+…≡ (a[1]+2a[2]-a[3])+(a[5]+2a[6]-a[7])+…(mod 4)
Do vu 3²≡-1(mod 5), 3⁴≡1(mod 5)
Sở dĩ 3^r≡3^[(a[1]+2a[2]-a[3])+(a[5]+2a[6]-a[7])+…]
≡ 3^(a[1]-a[3]+a[5]-a[7]+…) × (-1)^(a[2]+a[4]+a[6]+…) (mod 5)
Khả đắc f(n)≡f_5(n)×3^r
≡ (-1)^(a[1]+a[2]+a[3]…)×3^(a[1]-a[3]+a[5]-…)×a[0]! × a[1]! × a[2]! ×…(mod 5)
Giá dạng hòa f(n)≡0(mod 2), 0≤f(n)≤9 tại nhất khởi tựu năng ngận khoái tòng n đích 5 tiến chế biểu kỳ trung cầu xuất f(n)

Lánh ngoại, đồng dạng khả dĩ đối 0~5⁴-1 trung mỗi cá chỉnh sổ định nghĩa hàm sổ F: {0,1,2,…,624}→{1,2,3,4}
Sử đắc đối chỉnh sổ t mãn túc 0≤t≤624 thả t=125a+25b+5c+d, 0≤a, b, c, d≤4
Đô mãn túc F(t)≡ 3^(c-a)×(-1)^(a+b+c+d)×a!×b!×c!×d! (mod 5)
Tắc f(n)≡(-1)^h×∏F(a'(i)), i=0,1,…
Kỳ trung h thị n trừ dĩ 5 đích dư sổ, dã tựu thị 5 tiến chế hạ đích cá vị sổ
a'(0), a'(1),… Thị n đích 625 tiến chế biểu kỳ trung tòng đê đáo cao đích các vị sổ tự

Thượng diện đích kết quả thuyết minh k khả dĩ thủ 625 đích mịch, k đẳng vu kỳ tha sổ tự thời, ngã sai ứng cai khả dĩ trảo xuất mâu thuẫn