[n/k]=h đương thả cận đương h≤n/k<h+1, dã tựu thị n/(h+1)<k≤n/h
Sở dĩ kháp hảo hữu [n/h]-[n/(h+1)] cá chính chỉnh sổ k sử [n/k]=h
Nhân thử ∏[n/k] = ∏h^([n/h]-[n/(h+1)]), h=1~n, h＞n thời đối ứng hạng đích chỉ sổ đô đẳng vu 0
Đối nhậm ý tố sổ p≥7, lệnh n=p-1 ( hòa thượng diện đích n bất đồng ), m=n²-5, m+1=n²-4, khả dĩ chứng minh a(m+1)≤n, a(m)≥n+1
Đối nhậm ý chính chỉnh sổ i≤n-1, do vu n≥6, m=n²-5≥n²-n≥i(i+1)
[m/i]-[m/(i+1)]＞m/i - m/(i+1)-1 = m/i(i+1) -1≥0
Sở dĩ [m/i]-[m/(i+1)]≥1
Nhi [m/n]-[m/(n+1)] = [(n²-n+n-5)/n] - [(n²-n-2+n-3)/(n+1)] = n-1 + [(n-5)/n] - (n-2)+ [(n-3)/(n+1)] = 1
[m/(n+1)]-[m/(n+2)] = [(n²-n-2+n-3)/(n+1)] - [(n²-n-6+n+1)/(n+2)] = n-2 + [(n-3)/(n+1)] - (n-3) + [(n+1)/(n+2)] = 1
Sở dĩ ∏h^([m/h]-[m/(h+1)]) trung đương h≤n+1 thời chỉ sổ đô bất tiểu vu 1, tắc ∏h^([m/h]-[m/(h+1)]) thị (n+1)! Đích bội sổ, dã tựu thị (n+1)! Chỉnh trừ ∏[m/k]
Sở dĩ a(m)≥n+1
Nhi như quả tồn tại mỗ cá chính chỉnh sổ k≤m+1 sử p | [(m+1)/k], thiết [(m+1) /k] = up, do up≥1 khả tri u thị chính chỉnh sổ
Tái thiết m+1 = upk+v, tắc v<k≤uk, upk≤m+1<uk(p+1), (m+1)/(p+1)<uk≤(m+1)/p, tắc [(m+1)/p] ＞[(m+1)/(p+1)]
Dã tựu thị [(m+1)/(n+1)]-[(m+1)/(n+2)]≥1
Đãn [(m+1)/(n+1)] - [(m+1)/(n+2)] = [(n²-n-2+n-2)/(n+1)] - [(n²-4)/(n+2)] = n-2+ [(n-2)/(n+1)] -(n-2) = 0
Sở dĩ p bất chỉnh trừ ∏[(m+1)/k], tắc a(m+1)≤p-1=n

Kỳ thật như quả thiết g biểu kỳ sử g(g-1)≤n<g(g+1) đích chính chỉnh sổ, f biểu kỳ sử [n/f]=[n/(f+1)] đích tối tiểu chính chỉnh sổ
Do ∏[n/k] = ∏h^([n/h]-[n/(h+1)]) khả tri (f-1)! | ∏[n/k]
Lánh ngoại khả dĩ chứng minh
Như quả g²≤n<g(g+1), tắc g-1/2+√[(g+1/2)²-n] ≤f≤g+1/2+√[(g+1/2)²-(n+1)]
Như quả g(g-1)≤n≤g²-1, tắc g-1+√(g²-n)≤f≤g+√(g²-n-1)
Lưỡng chủng tình huống đích khu gian trường độ đô tiểu vu 1, cận hữu nhất cá chính chỉnh sổ f tồn tại
Tại đồng nhất khu gian nội, đương n tại tương lân chính chỉnh sổ chi gian biến hóa thời, f dã thị bất biến hoặc giả tại tương lân chính chỉnh sổ chi gian biến hóa đích, tùy trứ n tăng gia, khu gian thượng hạn trục tiệm giảm tiểu, nhất định tồn tại mỗ đối tương lân đích n hòa n+1, sử hậu giả đối ứng đích f tiểu vu tiền giả
Bỉ như tại đệ nhị loại tình huống trung nhượng g²-n=5, giá thời n đối ứng đích f sở tại khu gian [g-1+√5, g+2], f=g+2, nhi n+1 đối ứng đích khu gian [g+1, g+√3], f=g+1
Lánh nhất phương diện, loại tự lâu thượng khả dĩ thôi xuất, đối nhậm ý tố sổ p, tồn tại h sử [n/hp]-[n/(hp+1)]≥1 đích tất yếu điều kiện thị [n/p]-[n/(p+1)]≥1
Nhân thử chỉ yếu n+1 đối ứng đích f bổn thân thị nhất cá tố sổ p, nhi n đối ứng đích f＞p, na p! | ∏[n/k] nhi p bất khả năng chỉnh trừ ∏[(n+1)/k], tựu thuyết minh a(n)≥p, a(n-1)≤p-1
Kỳ thật a(n-1)=p-1, nhân vi đối ứng đích f=p, (f-1)! Chỉnh trừ ∏[(n+1)/k]