Dizi

Dizi,bir sıralı listedir. Birkümegibi,ögelerden(bazen eleman veya terim de denir) oluşur. Sıralı ögelerin sayısına (sonsuz olabilir) dizininuzunluğudenir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi,tanım kümesisayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan birfonksiyonolarak tanımlanabilir. Örneğindoğal sayılargibi. Diziler bu örnekte olduğu gibisonluolabilir. Ya da (2, 4, 6,...) tümçift pozitif tam sayılargibisonsuzolabilir.

Örneğin, (K, İ, T, A, P), ilkharfi'K' ve son harfi 'P' olan bir dizidir. Bu dizi, (P, A, T, İ, K) dizisinden farklıdır. Ayrıca (1, 1, 2, 3, 5, 8) dizisindeki1sayısı iki farklı konuma sahiptir. Böyle olması dizinin geçerliliğini değiştirmez. Dizi sonlu ya da sonsuz olabilir. Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, 4,…)sonsuz diziyeörnek verilebilir. (1, 2, 3, 4) dizisi ise sonlu bir dizidir.

Örnekler ve gösterim

Bir dizi rastgele sıralanmış ögeler listesi olarak düşünülebilir.Dizininözellikleri kullanılarak,fonksiyonlar,uzaylarve diğer matematik yapıları ile çalışmak için diziler, matematik disiplinlerinde kullanılabilir. Özellikle diziler,diferansiyel denklemlerveanalizdeönemli olanserileriçin temel teşkil eder.

Diziyi belirtmenin birkaç yöntemi vardır. Bunların bazıları özel dizi türleri için çok kullanışlıdır. Diziyi belirtmenin bir yöntemi de, ögeleri listelemektir. Örneğin; ilk dört tek sayı dizisi (1, 3, 5, 7) formundadır. Bu gösterim, sonsuz diziler için de kullanılabilir. Örneğin pozitif tek tam sayıların sonsuz dizisi, (1, 3, 5, 7,...) formunda yazılabilir. Listeleme, sonsuz diziler için en kullanışlı yöntemdir. Burada birörüntükullanılır. Böylece ilk birkaç öge kolayca fark edilebilir. Diğer yöntemlerden örneklerden sonra bahsedilecektir.

Önemli örnekler

Kenar uzunlukları ardışıkFibonacci sayılarıolan kareler

Birçok önemli tam sayı dizisi vardır.Asal sayılar,1'den büyük fakat1ve kendilerinden başkabölenleriolmayandoğal sayılardır.Bunlar kendi sırasına göre dizilirse, (2,3,5,7,11,13,17,...) dizisi elde edilir. Asal sayılarla çalışmak,matematikve özelliklesayılar teorisiiçin önemlidir.

Fibonacci dizisi,her sayının kendinden önceki sayı iletoplanmasısonucu oluşan bir sayı dizisidir. İlk iki öge ya 0 ile 1 ya da 1 ile 1'dir. Böylece (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...) dizisi elde edilir.

Dizilere diğer önemli örnekleri,rasyonel sayılar,reel sayılarvekarmaşık sayılarverilebilir. (.9,.99,.999,.9999,...) dizisi 1'e yaklaşır. Her reel sayı, rasyonel sayılardizisinin limitiolarak yazılabilir. Örneğin, (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...) dizisinin limiti,πolarak yazılabilir. Daha genel bir ifade ile herhangi bir reel sayıondalıklardizisininlimitiolarak yazılabilir. π için, (0.9,0.99,...) dizisinde olduğu gibi herhangi bir ondalıkörüntüsüyoktur.

İndisleme

Örüntünün kolayca gösterilemediği durumlarda veya pi sayısında olduğu gibi rakamlarında herhangi bir örüntü yoksa, diziler için başka gösterimler kullanılabilir. Bu bölümdedoğal sayılaralt kümesinde bulunan diziler için kullanılan gösterimlerden bahsedilmiştir. Diğersayılabilir indis kümeleriningenelleştirmeleri içinaşağıdaki bölümebakın.

Bir dizinin terimleri (veya ögeleri) genellikle tek birdeğişkenleifade edilir. Dizideki herhangi bira_nögesindekinindisi,dizininn.ögesidir.

{\begin{aligned}a_{1}&\leftrightarrow &{\text{ 1. terim}}\\a_{2}&\leftrightarrow &{\text{ 2. terim }}\\a_{3}&\leftrightarrow &{\text{ 3. terim }}\\\vdots &&\vdots \\a_{n-1}&\leftrightarrow &{\text{ (n-1). terim}}\\a_{n}&\leftrightarrow &{\text{ n. terim}}\\a_{n+1}&\leftrightarrow &{\text{ (n+1). terim}}\\\vdots &&\vdots \end{aligned}}

İndisleme gösterimi, bir diziyi soyut olarak ifade etmek için kullanılır. Ayrıca (terimin konumunu belirten)nindisli terimlerden oluşan diziler için bu, doğal bir gösterimdir. Örneğin ilk ontam kareolan sayılar için dizi şöyle yazılabilir:

(a_{1},a_{2},...,a_{10}),\qquad a_{k}=k^{2}.

Bu, (1,4,9,...100) dizisini ifade eder. Bunun daha da basit gösterimi şöyledir:

(a_{k})_{k=1}^{10},\qquad a_{k}=k^{2}.

Burada {k=1} alt indisi ve 10 üst indisi,k= 1, 2,..., 10 için bu dizinin terimlerinina_kolduğunu ifade eder.

Diziler herhangi bir tam sayıdan başlayacak veya bitecek şekilde indislenebilir. Belirli birkdeğerinden başlayarak tüm tam sayıları kapsayan diziyi ifade etmek içinsonsuzsembolü (∞) üst indis olarak çok sık kullanılır. Tüm pozitif tam kareler şöyle ifade edilebilir:

(a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}.

Bunun gibi indisleme sayıları kümesinin anlaşılması içinanalizdealt indisler ve üst indisler sıkça kullanılır. Bir keyfi dizi içina_kbasit yazımı kullanılabilir. Analizdek1'den ∞'a kadar olan dizi ele alınarakkanlaşılabilir. Fakat dizi çoğunlukla sıfırdan başlayarak indislenir, şöyle ki:

(a_{k})_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},...).

Bazı durumlarda dizinin terimleri, örüntüsü kolayca anlaşılabilen bir tam sayılar dizisi ile ilgilidir. Bu durumda, ilk birkaç soyut terim listelenerekindis kümesiningeri kalan terimlerinin ne olduğu anlaşılabilir. Örneğin,tek sayılaraşağıdaki gösterimlerden herhangi biriyle ifade edilebilir.

$(1,9,25,...)$
$(a_{1},a_{3},a_{5},...),\qquad a_{k}=k^{2}$
$(a_{2k-1})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
$(a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
$((2k-1)^{2})_{k=1}^{\infty }$

Diğer taraftan, eğer 3., 4 ve 5. gösterimlerdeki indisleme kümesinindoğal sayılarolduğu anlaşılabilirse alt indisler ve üst indisler gösterilmeyebilir.

Sonuçta diziler, birkümealt indisle birlikte yazmayı en genel biçimde ifade edebilir, şöyle ki:

(a_{k})_{k\in \mathbf {N} }

İndisle ifade edilen değerler kümesineindis kümesidenir. Genelliklea_kögelerinin dizilişi, indisleme kümesindeki terimlerin dizilişi ile belirtilir.Nindis kümesi olursa,a_k+1 terimi,a_kteriminden sonra dizilir. Dolayısıyla (k+1) alt indisi, doğrudankalt indisinden sonra gelir.

Tanım ve temel özellikler

Matematikte diziler çok farklı yöntemlerle (örn;tam dizi) gösterilebilir. Aşağıda sadece bazı gösterimlerden bahsedilmiştir.

Tanım

Bir dizi genellikletanım kümesisayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan birfonksiyonolarak tanımlanabilir.Reel analizdebir dizi,N(veya $\scriptstyle \mathbb {N}$ )doğal sayılarındanR(veya $\scriptstyle \mathbb {R}$ )reel sayılarınakadar olanalt kümedekibir fonksiyondur. Başka bir ifade ile dizi,f(n):N→Rharitasıdır. Daha önce ifade edilen gösterimleri doğrulamak için,a_n=f(n)veya yalnızcaa_n:N→Ryazılabilir.

Karmaşık analizdedizi,Ndoğal sayılarından $\mathbf {C}$ (veya $ℂ$ veya $\scriptstyle \mathbb {C}$ )karmaşık sayılarınakadar olan bir harita olarak tanımlanır.Topolojidedizi, genellikle doğal sayılar alt kümesindentopolojik uzayınakadar olan fonksiyonları tanımlar.

Sonlu ve sonsuz

Bir dizininuzunluğu,dizideki terimlerin sayısı ile belirlenir.

nsonlu uzunluklu bir dizi,ndemetliolarak da adlandırılır. Hiçbir ögesi olmayan ( )boş dizide bir sonlu dizidir. Normaldesonsuz dizikavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken;sonlu dizi,diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi,çift sonsuz diziveyaiki yönlü sonsuz diziolarak adlandırılır. Örneğin;tümtam sayılardanoluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…)çifttam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi, $(2n)_{n=-\infty }^{\infty }$ olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz diziZdeki bir harita olarak tanımlanabilir.

Tek sonsuz dizi,R[N] doğal sayılarınınyarıgrup halkasının;çift sonsuz dizi ise,R[Z] tam sayılarınınGrup halkasınınögeleri olarak ifade edilebilir. Bu görüş, dizilerinCauchy çarpımındakullanılır.

Artma ve azalma

Bir dizinin her bir terimi, bir önceki terimden büyük eşitse, bunamonotonik artmadenir. $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizisinde tümn∈Noluyorsa, dizi şöyle yazılabilir:a_n≤a_n+1.Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden büyükse (>), "dizitam monotonik artıyor' "denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçük eşit ise," dizimonotonik azalıyor' "denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçükse" dizitam monotonik azalıyor' "denir. Eğer bir dizi ya artıyor ya da azalıyorsa," dizimonotondur' "denir. Bu monotonik fonksiyonun genel kavramının özel durumudur.

Azalmıyorveartmıyorkavramları sırasıylatam artıyorvetam azalıyorkavramları ile karışmaması için, bunlar yerine sırasıylaartıyorveazalıyorkavramları sıkça kullanılır.

Sınırlar

Eğer (a_n) reel sayılar dizisi, belirli bir terimden sonraki tüm terimleriMreel sayısından daha küçük ise, "'üstten sınırlıdizi "denir. Bunun anlamı, s, tümnbüyüktürNve bazıMveNçiftleri için,a_n≤Molur. BuradaM,üst sınırolarak adlandırılır. Benzer şekilde, tümnbüyüktürniçin bazı reel sayılarm,a_n≥molur. Buna "'alttan sınırlıdizi "denir. Buradamalt sınırolarak adlandırılır. Eğer dizi hem alttan sınırlı hem de üstten sınırlı ise diziyesınırlıdenir.

Diğer dizi türleri

Verilen bir dizinin bazı terimlerinin silinmesi, geri kalan terimlerin konumlarını dağıtmayacak forma dönüştüren diziye altdizidenir. Örneğin (2, 4, 6,...) çift tam sayılar dizisi, (1, 2, 3,4,...) pozitif tam sayılar dizisinin bir altdizisidir. Diğer terimleri silindiğinde, geri kalanları konumları değişmiş, fakat öncelik sıraları değişmemiştir.

Bazı diğer dizi türlerini şu şekilde kolayca tanımlanabilir:

Birtam sayı dizisi,terimleri tam sayı olan bir dizidir.
Birpolinom dizi,terimleripolinomolan bir dizidir.
Eğernvemaralarında asalise, tümnvemçiftleri içina_nm=a_na_moluyorsa, pozitif tam sayı dizisine, çarpan olarak adlandırılır. Başka bir ifade ile tümniçin eğera_n=na₁oluyorsa, çarpan dizidir. AyrıcaçarpanlıFibonacci dizisinintekrarlı ilişkisi de bir dizidir, şöyle ki:a_n=a_n−1a_n−2.

Limitler ve yakınsaklık

Dizinin en önemli özelliklerinden biri deyakınsaklıktır. En basit anlamda eğer birdizinin limitivarsa, "dizi yakınsaktır" denir. Yani bir (tek sonlu dizindençok çok büyük olduğundaLlimite yaklaşırsa, "dizinin limiti vardır" denir. Bir (a_n) soyut dizisinden→ ∞ (nsonsuza giderken)a_n,Lye yakınsar.

\lim _{n\to \infty }a_{n}=L.

Bunun tam ifadesi, eğer birLlimiti varsa dizi yakınsaktır.Lyeterince büyük olursa, geri kalan a_n'lerLye yakınsar.

Bir dizi eğer bazı limitlere yakınsıyorsa, diziyakınsaktır,aksi takdirdeıraksaktır.

Bir $(x_{n})$ dizisisonsuza yaklaşıyorsa, $x_{n}\to \infty$ veya $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ şeklinde yazılır.

Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır ve $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ şeklinde yazılır.

Yakınsaklığın tanımı

a_n∈Rolursa ve $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizi formunda yazılabiliyorsa, bu diziyiN indis kümesiile şöyle yazabiliriz: (a_n). Bu dizilergerçel analizdesıkça kullanılır.

Uygulamalar ve özellikler

Reel sayılardaki dizilerin yakınsaklığı vetek taraflı limitönemli sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:

Reel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

Bir dizinin limiti eşsizdir.
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})(\lim _{n\to \infty }b_{n})$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}$ (Eğer $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ ise)
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
Tüm $n$ 'ler bazı $N$ 'lerden daha büyük ise ve $a_{n}\leq b_{n}$ oluyorsa, $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ olur
(Sıkıştırma teoremi) Tüm $n>N$ için $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ oluyorsa ve $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ ise, $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ olur.
Eğer bir dizi sınırlandırılmış vemonotonikise dizi yakınsaktır.
Bir dizi yakınsak iseancak ve ancaktüm alt dizileri de yakınsaktır.

Cauchy dizileri

Cauchy dizisi, terimleri rastgele yakın olan bir dizidir. Cauchy dizisi kavramı,metrik uzayında,özelliklereel analizdeortaya çıkar.

Bir dizi yakınsıyorsaancak ve ancakCauchy dizisidir.

Seriler

Seri,bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Bir tek taraflı dizinin ilkNterimi toplamı, başka bir dizininN.terimi olan formaseridenir. Burada (a_n) dizisininNserisi, (S_N) dizisini oluşturur, şöyle ki:

{\begin{aligned}S_{1}&=&a_{1}&&&\\S_{2}&=&a_{1}&{}+a_{2}&&\\S_{3}&=&a_{1}&{}+a_{2}&{}+a_{3}&\\\vdots &&\vdots &&&\\S_{N}&=&a_{1}&{}+a_{2}&{}+a_{3}&{}+\cdots \\\vdots &&\vdots &&&\end{aligned}}

Serininn.terimini şöyle yazabiliriz:

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}.

Yakınsaklık, seriye aktarmak (kısmi toplamlar dizisi) ve özellikler gibi kavramları kullanırken asıl bahsedilmek istenen dizilerin karakterleridir (son örnekteki (a_n) gibi). Sonsuz bir diziden elde edilen bir sonsuz serinin eğer limiti varsa, şöyle ifade edilir:

\lim _{N\to \infty }S_{N}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.