Karekök ortalama

Karekök ortalama;matematikteroot mean square(kısaltması RMS ya da rms) ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılanistatistikbir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.

Sürekli olarak değişen birfonksiyonunsürekli olmayan değerserisiiçin hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir.

Tanım[değiştir|kaynağı değiştir]

$k_{\text{g}}=\left[{\sqrt {\langle {Ni \over N}\rangle }}-1\right]X100$

$k$

$K_{\text{gort}}=\left[{k_{\text{g1}}+k_{\text{g2}}+k_{\text{g3}}+\ldots +k_{\text{gn}} \over n}\right]$

$N_{\text{g}}=N_{\text{s}}\left[1+{K_{\text{g}} \over 100}\right]^{\langle tg-ts\rangle }$

Karekök ortalama hesaplanması[değiştir|kaynağı değiştir]

$n$ sayıdaki değerlerin $\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}$ RMS değeri;

x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over n}}

olarak hesaplanır.

$T_{1}\leq t\leq T_{2}$ aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü;

f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}

Birperiyodik fonksiyonunRMS değeri fonsiyonun bir periyodunun RMS değerine eşittir. Sürekli bir fonksiyonun ya da sinyalin RMS değeri eşit aralıklarla bir dizi RMS değeri örneklenerek yaklaşık olarak hesaplanabilir.

Kullanım yerleri[değiştir|kaynağı değiştir]

Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunluklafizikveelektrik mühendisliğindekullanılır. Örneğin, $R$ direncindeki biriletkentarafından harcanan $P$ gücünü hesaplamak isteyebiliriz. İletkenden sabit bir $I$ akımıaktığında bu hesabı yapmak kolaydır. Basitçe:

P=I^{2}R\,\!

Ancak akım değişen bir $I(t)$ fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer.

$P_{\mathrm {avg} }\,\!$	$=\langle I^{2}R\rangle \,\!$ ( $\langle \ldots \rangle$ aritmetik ortalamayıifade eder)
	$=R\langle I^{2}\rangle \,\!$ (Rbir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir)
	$=I_{\mathrm {rms} }^{2}R\,\!$ (RMS in tanımından)

Aynı metot ile;

P_{\mathrm {avg} }={V_{\mathrm {rms} }^{2} \over R}\,\!

P_{\mathrm {avg} }=V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\,\!

Ancak bu tanımgerilimınve akımın birbiriyleorantılıolduğu (yani yükünresistifolduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez.

Şebeke güçlerinde olduğu gibialternatif akımıngenel durumunda, $I(t)$ sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durumdenklemindenkolaylıkla hesaplanabilir. $I_{\mathrm {p} }$ yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:

I_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}\,\!

$I_{\mathrm {p} }$ positif birgerçek sayıolduğuna göre,

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}

Trigonometrikfonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}

Fakat T2 ve T1 zamanlarında sinüs tam bir döngü tamamladığı yani aynı değerlere geldiği için için sinüs değerler birbirini götürür ve geriye aşağıdaki ifade kalır.

I_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}

Saf birsinüsdalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1.414( ${\sqrt {2}}$ ) tür. Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır.

Dönüşüm katsayıları[değiştir|kaynağı değiştir]

Tepe genliği $I_{\mathrm {p} }$ tepeden tepeye genliğin $I_{\mathrm {p-p} }$ yarısıdır.
BirACdalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır.
Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır.