Olasılık teorisi

Olasılık teorisiya daihtimaliyet teorisirastgeleolayların analizi ile ilgilenen birmatematikbilim dalıdır.Olasılık teorisinin ana ögelerirassal değişkenler,saf rassal süreçler,olaylarolarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olandeterministik olmayanolayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuçbüyük sayılar yasasıvemerkezsel limit teoremidir.

İstatistikbilim dalının matematiksel temelini oluşturan olasılık teorisi, büyük veri serilerinin niceliksel analizini gerektiren birçok insan faaliyetinin incelenebilmesi ve anlaşılabilmesi için gereken temel esasları oluşturur. Bunun yanında, olasılık teorisinin yöntemleri, durumları hakkında sadece kısımsal bilgimiz olabilecek karmaşık sistemlerin tanımlanmasına da uygulanabilir. Örneğin;İstatistiksel Mekanik.Yirminci yüzyıldafizikbiliminde en büyük buluşlardan biri, atomik düzeyde fiziksel olayların tabiatının olasılıklı olduğu ve bunlarınkuantum mekanikbilgisi ile açıklanıp, incelenip, kullanılabileceğidir.

Tarihçe

Bilinen en eski olasılık ve istatistik hesaplamaları, 8 ve 13. yüzyıllar arasındakriptografiüzerine çalışan Arap matematikçiler tarafından geliştirilmiştir.Halil ibn Ahmed el-Ferahidi(717-786) sesli ve sessiz harflerle olası tüm Arapça kelimeleri listelemek için tarihte ilk defa permütasyon ve kombinasyonun kullanıldığı Şifreleme Mesajları Kitabı'nı yazmıştır.Kindî(801-873),kriptanalizve frekans analizi konusundaki çalışmalarında bilinen en erkenistatistiksel çıkarımlardabulunmuştur. İbn Adlan (1187-1268) ise frekans analizi kullanımı için örneklem büyüklüğü üzerine çalışmalar yapmıştır.

Matematikselolasılık teorisinintarihsel kökleri 16. yüzyıldaGerolamo Cardanove 17. yüzyıldaPierre de FermatileBlaise Pascaltarafından yapılanşans oyunlarınınmatematiksel incelemelerine dayanır.

Başlangıçta, olasılık teorisi genellikleayrıkolayları incelemek için geliştirilmiş ve kullanılan yöntemler genellikletümleşikmatematik kurallarına dayandırılmıştır. Fakat giderekmatematik analizgörüşleri daha ağır basarak olasılık teorisinesüreklideğişkenlerin incelenmesinin de katılması gerektirmiştir. Bu gelişmenin şu andaki en son aşamasının temelleri,Andrey Nikolaevich Kolmogorovtarafından,ölçüm teorisinabağlantılı olan modern olasılık teorisi olarak ortaya çıkartılmıştır. Kolmogorov,Richard von Misestarafından ortaya atılanörnek uzaykavramlarınıölçüm teorisikavramları ile birleştirerek 1933'te modern olasılık teorisi için esas olanKolmogorov aksiyomlarınıortaya atmıştır. Bu gelişme bilim camiası tarafından çabucak, hiç karşı çıkan kuram olmadan, modern olasılık teorisinin anaaksiyom sistemiolarak benimsenmiştir.

İnceleme

Olasılık teorisine girişlerin çoğunda, ayrık olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları ayrı ayrı olarak incelemeye alınmaktadır. Halbuki olasılığın daha ileri matematiksel yaklaşımla incelenmesinin, hem ayrık, hem sürekli ve hem de bunların karışığı ve daha ilerisinde olan dağılımların hep birlikte yapılmasını gerektirmektedir.

Ayrık olasılık dağılımları

Ana madde:Ayrık olasılık dağılımları

Ayrık olasılık teorisisayılabilirörneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örneğin:Zaratılması,küp deneyleri,iskambil kartlarınıçekmek veyarastgele yürüyüşolayları.

Klasik tanım: Olasılık teorisi geliştirilmesinin ilk safhalarında, belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelendiği kabul edilmiş ve incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örneğin, incelenecek sorun "tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir" şeklinde sorulursun. Zar yansız olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu için, aranan olasılık

P( 2 veya 4 veya 6 ) =${\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{2}}$

olarak bulunur.

Modern tanım: Modern tanımaörneklem uzayıadı verilen birkümeile başlanır; bu klasik tanımda kullanılanmümkün tüm sonuçlarseti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir: $\Omega =\left\{x_{1},x_{2},\dots \right\}$. Sonra,$x\in \Omega \,$içinde bulunan hermatematiksel elemanabir olasılık değeri $f(x)\,$bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinde şu özelliklerin bulunduğu kabul edilir:

1. $f(x)\in [0,1]{\mbox{ butun }}x\in \Omega \,;$
2. $\sum _{x\in \Omega }f(x)=1\,.$

Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olanf(x)Ωörneklem uzayında bulunan herxdeğeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır vexiçin tüm mümkün değerler içinf(x) değerlerinin toplamı tama tam (1'e) eşit olur. Birolay$\Omega \,$örneklem uzayının herhangi bir$E\,$altseti olarak tanımlanır.$E\,$olayının 'olasılıkdeğeri ise şöyle tanımlanır:

$P(E)=\sum _{x\in E}f(x)\,.$

Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık0a eşit olur.

Örnekleme uzayındaki bir noktayı "olasılık" değerine eşleyen fonksiyona, yani$f(x)\,$ fonksiyonuna,olasılık kütle fonksiyonuadı verilir. Modern tanım olasılık kütle fonksiyonunun nasıl ortaya çıktığını açıklayan bir kuram yaratmaz; sadece bu fonksiyonların varolduğunu kabul eden bir kuram ortaya çıkartır.

Sürekli olasılık dağılımları

Ana madde:Sürekli olasılık dağılımları

Sürekli olasılık teorisisürekli örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler.

Klasik tanım: Sürekli olasılık hâlleri ile karşılaşınca klasik tanım geçerli olmaz.Bernard'in paradoksumaddesine bakin.

Modern tanım: Eğer örneklem uzayıreel sayılardanoluşursa (yani$\mathbb {R}$),yığmalı dağılım fonksiyonuadı verilen bir fonsksiyonun var olduğu kabul edilir; bu birrassal değişkenolanXiçin P(X\le x) = F(x)\,</math> ifadesini gösterir yani P(X\le x) = F(x)\,</math> rassal değişkeninXxsayı değerine eşit veyaxden daha düşük olması hâlindeki olasılığı gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu şu özellikleri göstermelidir:

1. $F\,$monotonik azalma göstermeyen,sağda-süreklibir fonksiyondur;
2. $\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0\,;$
3. $\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1\,.$

Eğer$F\,$fonksiyonun türevi alınabilirse, rassal değişkenXiçin birolasılık yoğunluk fonksiyonu

$f(x)={\frac {dF(x)}{dx}}\,.$

bulunur.

$E\subseteq \mathbb {R}$seti için, rassal değişkenXin$E\,$seti içinde bulunma olasılığı şöyle tanımlanır:

$P(X\in E)=\int _{x\in E}dF(x)\,.$

Eğer bir olasılık yoğunluk fonksiyonu var ise, bu şöyle ifade edilebilir:

$P(X\in E)=\int _{x\in E}f(x)\,dx\,.$

Olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece sürekli rassal değişkenler için var olmakta ise de, yığmalı dağılım fonksiyonu$\mathbb {R} \,.$içinde değerleri olan (aralıklı rassal değişkenler dahil) tüm rassal değişken için mevcut bulunmaktadır.

Bu kavramlar$\mathbb {R} ^{n}$ve diğer sürekli örneklem uzayları içinçoklu boyutluhâllere de genelleştirilmiştir.

Ölçüm kuramsal olasılık teorisi

Modern olasılık teorisi yaklaşımıölçüm teorisikullanılması suretiyle yapılmakta ve bu kuramolasılık uzayındaKolmogorov aksiyomlarınadayandırılmaktadır. Olasılık uzayı üç kısımdan oluşmuştur. Olasılığın bu ölçüm teorisine göre uygulanmasının esas nedeni bu teorisin ayrık ve sürekli değişkenleri birlikte ele alabilmesinden ve aralarındaki farkları kullanılan ölçü ile açıklamasındandır. Bundan başka saf ayrık veya saf sürekli dağılımlar yanında bu iki kategoriye tam uymayan dağılımları da inceleme imkânı sağlamaktadır.

Herhangi bir set$\Omega$verilsin ve buörneklem uzayıolarak da anılmaktadır. Bu set üzerinde birsigma-cebiriile${\mathcal {F}}\,$bulunsun; birölçüm$P$nin birolasılık ölçümüolarak adlandırması ancak ve ancak şu koşullar altında mümkün olur:

1. $P\,$non-negatifdir;
2. $P(\Omega )=1\,.$

Eğer${\mathcal {F}}\,$birBorel σ-cebiriise o hâlde herhangi bir yığmalı dağılım fonksiyonu${\mathcal {F}}\,$üzerinde tek ve tek bir olasılık ölçümü bulunur ve bunun aksi önerim de doğrudur. Bu ölçüm ayrık değişkenler içinolasılık kütle fonksiyonuve sürekli değişkenler içinolasılık yoğunluk fonksiyonuile çakışmaktadır ve böylece ölçüm teorisine bağlı yaklaşım yanıltıcı mantıktan uzaklaştırmaktadır.

σ-cebiri${\mathcal {F}}\,$içinde$E\,$seti içinolasılıkşöyle tanımlanır:

$P(X\in E)=\int _{x\in E}dF(x)\,.$

Burada entegrasyon$F\,$tarafından ortaya çıkartılan ölçüye göredir.

Temel Prensipler

Belirli bir olay A için olasılık$\textstyle \mathbb {P} (A)$0 ile 1 arasında değişen bir sayı ile temsil edilir. Hiç olanaksız bir olay için olasılık 0 olur ve kesinlikle olacak bir olayın olasılığı 1 olur. Bazı istatistikçiler bu uçsal olasılık değerlerinin sadece teorik olduğunu iddia etmektedirler çünkü kabul ettikleriolasılık açıklamasıdeneylemelerle limitte göresel çokluluk (relatif frekans) değerine dayanır. Diğer Bayes-tipi, özellikle subjektif,olasılık açıklamasınagöre bu uçsal olasılık değerlerini sübjektif olarak düşünmek ve olaylara bu değerleri koymak imkân dahilindedir.

Bazı temel özellikler

Olay	Olasılık
A olayı olması için olasılık	$\mathbb {P} (A)\in [0,1]\,$
A olayı olmaması için olasılık	$\mathbb {P} (A^{c})=1-\mathbb {P} (A)\,$
A veya Bolması için olasılık	${\begin{aligned}\mathbb {P} (A\cup B)&=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)\\\end{aligned}}$
A ve Bolması için olasılık	${\begin{aligned}\mathbb {P} (A\cap B)&=\mathbb {P} (A|B)\mathbb {P} (B)\\&=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)\qquad {\mbox{eger A ve B bagimsizlarsa}}\\\end{aligned}}$
A verilmiş B olması (B koşullu A)	$\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}\,$

Olasılık dağılımları

Ana madde:Olasılık dağılımları

Bazı rassal değişkenler olasılık teorisi içinde daha sık olarak isimleri geçmektedir; çünkü bu değişkenler birçok doğal veya fiziksel süreçleri belirlemektedirler veya özellikleçıkarımsal istatistikteçok öneme haizdirler. Bunun için bu tür değişkenler için olasılık dağılımları olasılık teorisi içindeözel önemtaşımaktadırlar.

Temelayrık olasılık dağılımlarılistesi şöyle verilebilir:

• Ayrık tekdüze dağılım
• Bernoulli dağılımı
• Binom dağılımı
• Negatif binom dağılımı
• Poisson dağılımı
• Geometrik dağılım
• Hipergeometrik dağılım

Temelsürekli olasılık dağılımlarılistesi şöyle verilebilir:

• Sürekli tekdüze dağılım
• Normal dağılım
• Student'in t dağılımı
• F-dağılımı
• Ki-kare dağılımı
• Üstel dağılım
• Beta dağılımı
• Gamma dağılımı

Rassal değişkenlerin yakınsaması

Ana madde:Rassal değişkenlerin yakınsaması

• Olasılıkteorisi içinderassal değişkenlerin yakınsama kavramı birkaç değişik şekilde tanımlanır. Aşağıdaki listede bu değişik tanımlar tanımın geçerlilik gücüne göre sıralanmıştır. Bu sıralamaya göre sıranın içindeki herhangi bir tanım daha önce verilmiş olan tüm tanımları da içinde kapsamaktadır.
• Dağılım içinde yakınsama:Bir serirassal değişkenolan$X_{1},X_{2},\dots,\,$,$X\,$rassal değişkeninedağılım içindeyakınsama göstermesi, ancak her bir X_i rassal değişkeni içinyığmalı dağılım fonksiyonuolan$F_{1},F_{2},\dots \,$fonksiyonlarının$X\,$in yığmalı dağılım fonksiyonu olan$F\,$ye yakınsama göstermesi hâlinde ortaya çıkar. Burada$F\,$süreklibir fonksiyondur.

En iyi bilinir kısaltılmış notasyon ile:$X_{n}\,{\xrightarrow {\mathcal {D}}}\,X\,.$

• Zayıf yakınsama:Bir seri rassal değişken olan$X_{1},X_{2},\dots,\,$$X\,$rassal değişkeninezayıf yakınsamagösterirlerse, her ε > 0 için

$\lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\left|X_{n}-X\right|\geq \varepsilon \right)=0$

olur. Zayıf yakınsama 'olasılık içinde yakınsamaolarak da bilinmektedir.

En iyi bilinir kısaltılmış notasyon ile:$X_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,X\,.$

• Güçlü yakınsama:Bir seri rassal değişken olan$X_{1},X_{2},\dots,\,$$X\,$rassal değişkeninegüçlü yakınsamagösterirlerse

$P(\lim _{n\rightarrow \infty }X_{n}=X)=1$

ifadesi gerçekleşir. Güçlü yakınsamahemen hemen kesinlikle yakınsamaolarak da isimlendirilir.

En iyi bilinir kısaltılmış notasyon ile:$X_{n}\,{\xrightarrow {\mathrm {a.s.} }}\,X\,.$

Güçlüyakınsamanın birzayıfyakınsamanın daha güçlü bir şekli olduğu gerçeğinin sezilmesi kolaydır ve her iki hâlde de rassal değişkenler$X_{1},X_{2},\dots \,$,$X\,$ile artan bir korelasyon göstermektedirler. Ancakdağılım için yakınsamahâlinde, rasssal değişkenlerin gerçekleşen değerlerinin gerçekte yakınsama göstermeleri gerekli değildir ve bunların arasındaki herhangi bir korelasyonun hiçbir pratik önemi bulunmaz.

Büyük sayılar yasası

Ana madde:Büyük sayılar yasası

Yaygın olan bir sezgiye göre eğer yansız olan bir madeni para birkaç kere havaya atılıp yazı-tura sonuçları kayıt edilirse, sonuçlarınkabacayarısıyazıolacak ve kalan yarısı daturaolacaktır. Üstelik, madeni parayı daha da çok defa havaya atıp sonuç kayıt edildikçe giderekyazısonuçları sayısınınturasonuçları sayısına oranının gittikçe daha çok bire yaklaştığı gözümlenecektir. Bu sezgi ile geliştirilen bu düşünce prensibine istatistik bilimde daha formel bir şekil verilmekte ve bunubüyük sayılar yasasiolarak isimlendirilmektedir. Bu dikkate değerdir; çünkü bu yasa olasılık teorisinin hiçbir yerinde, bu teorisin temel taşdır şeklinde bir bahis görmemektedir; fakat bu yasa olasılık teorisi temelinden bir teorem olarak geliştirilip ortaya çıkarılmaktadır. Bununla beraber, teorik olarak elde edilen olasılıkları, pratik reel hâllerde gerçek olarak ortaya çıkan çokluklara (frekanslara) bağladığı için, bu yasa istatistik teorisinin tarihinin içinde çok önemli bir orta direk taşı olarak kabul edilmektedir.

Büyük sayılar yasasına göre örneklem ortalaması, yani bağımsız ve birbiri ile sonsuz olmayan beklenen değeri$\mu$olan aynı bir dağılım gösteren rassal değişkenler, limitte teorik beklenen değere (yani$\mu$ya) yaklaşılık gösterirler.Yaklaşıklık gösteren rassal değişkenleringösterdikleri değişik şekillere göre bu yasa iki şekilde matematik olarak ifade edilebilir:

Güçlü yasa:${\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {\mathrm {a.s.} }}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty.$

Zayıf yasa:${\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty.$

Ayrıca bakınız

• İstatistiksel bağımsızlık
• İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi
• Olasılıklı mantık- Olasılık teorisi ve mantık bileşimi

Bibliyografya

• Billingsley, P., (1995)Probability and Measure, 3ncu ed.,John Wiley, New York
• Gut, A., (2005)Probability: A Graduate Course.Springer-Verlag.ISBN 0-387-22833-0.
• Jeffreys, H., (1939)The Theory of Probability
• Kolmogorov, A.N., (1933)Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung.
• Laplace, P.S., (1812)Theorie Analytique des Probabilités.
• Nelson, E., (1987)Radically Elementary Probability Theory