Seri

Seri,birdiziolmak üzere${\textstyle s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}+\ldots }$toplamı. Bir seri kısaca${\textstyle s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$şeklinde gösterilir. Bir serinin bütün terimleri pozitifse, seriyepozitif terimli seri,negatifsenegatif terimli seri;bir pozitif bir negatif isealmaşık seriveyaalterne seriadı verilir.${\textstyle s_{0}=a_{0}}$,${\textstyle s_{1}=a_{0}+a_{1}}$,${\textstyle s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}}$,...,${\textstyle s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}}$toplamlarına serinin kısmi toplamları, (s₀,s₁,..., s_n,...) dizisine dekısmi toplamlar dizisidenir. Bir seri dizisi olarak da tanımlanabilir. Bu dizi yakınsak ise seri de yakınsaktır.

Dizilerde ve serilerdeyakınsaklıkkavramı çok önemlidir. Bir serinin sonsuz teriminin toplamı sonlu bir değere yaklaşıyor ise, bu seriye yakınsak seri denir. Diğer taraftan bir seri dizisi olduğundan ve genel teriminlimitimevcut olan bir dizi yakınsak olacağından${\textstyle S=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}}$,yani kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seri de yakınsaktır.

Bir serinin yakınsaklığını araştırmak için, S_ntoplamı için limitine bakılır. Sonlu bir sayı bulunursa, seri yakınsaktır denir. Örneğin,${\textstyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n(n+1)}}}$serisinde${\textstyle s_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+\ldots +{\frac {1}{n\cdot (n+1)}}}$toplamı,${\textstyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}$yazılarak${\textstyle {\frac {n}{n+1}}}$olarak bulunur. Bu ifadenin limiti alındığında s=1 bulunduğundan verilen seri yakınsaktır denir. Harmonik seri olarak bilinen${\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}}$serisi ise S_ntoplamı bulunamadığı içinıraksaktır.

${\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{n}=-1+1-1+1-\ldots }$serisinin de belli bir toplamı olmadığı için ıraksaktır.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel seriler listesi