Vektör

"Vektör" buraya yönlendirilmektedir. Diğer kullanımlar içinVektör (anlam ayrımı)sayfasına bakınız.

AnoktasındanBnoktasına çizili bir vektör.

Matematik,fizikvemühendislikte,Öklid vektörüveya kısacavektör(bazengeometrik vektör,konumsal vektörya dayöney) sayısal büyüklüğü (veyauzunluğu) ve yönü olan geometrik bir objedir. Vektör, genellikle birdoğru parçasıile özdeşleştirilir. Birbaşlangıç noktasıAile biruç noktasıB'yi birleştiren bir ok şeklinde görselleştirilirve${\overrightarrow {AB}}$ile belirtilir.

Hız,kuvvet,ivmeveağırlıkörnek birer vektörel niceliktir. Vektörler birsayı(skaler) ile veya başka bir vektör ile çarpılabilir ve bölünebilir. Aynı zamanda yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilirler. Vektörlerin yönlü doğru parçalarından farkı budur. Yönlü doğru parçalarının koordinat sistemindeki yeri sabitken, vektörler ötelenebilirler.

Köken

İngilizcedebu yapı için kullanılan sözcükvectordür. Kökeni, "taşımak" / "bir yöne aktarmak" / "göndermek" anlamına gelen "vehere"Latincefiilgövdesidir.Sözcüğün anlamı "taşıyıcı" / "yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir kiTürkçede(büyük ihtimalleFransızcadandevşirilmiş olan)vektörkarşılığından sonrayöneykarşılığı kullanılmaktadır.

Gösterimi

A noktasından B noktasına varan bir vektör oku

Fiziksel vektörler veya geometrik vektörler,iki boyutlu düzlem için tanımı şu şekilde yapılabilir. İki boyutlu düzlemde 2 tane nokta alınsın bu noktalarAveBnoktaları olsun.A noktasından(başlangıç noktası) B noktasına (bitiş noktası) çizilen ve normu olan bu yönlü doğru parçasına A'dan B'ye çizilen AB vektörü denir.

Gösterimi iki şekildedir: 1.gösterim${\overrightarrow {\mathrm {A} \mathrm {B} }}$

2.gösterimAB

ile gösterilir.

Ok vektörün yönünü gösterir. Doğru parçasının uzunluğu ise, vektör büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

İki boyutlu birkoordinat düzleminde;bazen bir vektör koordinat düzlemine dik olarak gösterilmesi gerekebilir. Bir dairenin merkezinde bir nokta bulunursa (⊙), bu sembol yönü gözlemciye doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bir dairenin içinde bir çarpı işareti bulunursa (⊗), bu sembol yönüdüzleminarkasına doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bu semboller, bir savaş okunun ucunun görüntülenmesi ve bir savaş okunun arka kanatlarının görüntülenmesi gibi düşünülebilir.

Bir vektörün büyüklüğü

Bir vektörün büyüklüğü başlangıç ve bitiş noktaları arasında kalan doğru parçasının uzunluğudur vektörler referans noktasına göre - ve+ olmak üzere iki yöne ayrılabilirler.- yönündeki vektöre negatif yönlü vektör,+yönündeki vektere pozitif yönlü vektör denir. Vektörlerin büyüklükleri skaler nicelik ifade eder o denli bu - ve + işaretlerinin skaler bir gösterimden uzaklaşması için vektörün mutlak değerini almamız gerekir.⟨e.a⟩

ABvektörünün normu |AB|dir.

Daha genel gösterim |${\overrightarrow {\mathrm {A} \mathrm {B} }}$| dir.

Soyut tanımı

Soyut olarak vektörler, birFcisminin üzerine tanımlı birvektör uzayınınögeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış birdenklik bağıntısıyardımıyla tanımlanabilir. $a,b,c,d\in F^{n}=F\times F\times \cdots \times F$(ntane) olsun.aögesi ilebögesi,ancakbileşenlerin toplamı olaraka+d=b+cisebağıntılıdır.Daha biçimsel olmak gerekirse

$a\sim b\Leftrightarrow \forall i\in \{1,2,\cdots,n\}:\quad a_{i}+d_{i}=b_{i}+c_{i}$

şeklinde tanımlanır ki burada$a_{i}\in F$'leranoktasınınkoordinatlarıdırve+işlemiFcismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör,denklik sınıflarıdır.Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör

$\mathbf {a} =\{a|a\sim b\}$

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,

$\mathbf {a} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},\cdots,a_{n}-b_{n})=(c_{1}-d_{1},c_{2}-d_{2},\cdots,c_{n}-d_{n})$

şeklinde düşünülebilir.

Gösterimi

Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti (${\vec {a}}$) ya da koyu harf ($\mathbf {a}$) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Vektörünbileşenleriylegösteriminde ise genelliklesıralı n-likullanılır.

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak)satırya dasütun dizeygösterimi de yeğlenir.

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}$ya da$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\cdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$

Yine yaygın gösterimlerden biribirim vektörgösterimidir.

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {i} _{n}$

ki burada

$\mathbf {i} _{1}=(1,0,\cdots,0)$

$\mathbf {i} _{2}=(0,1,0,\cdots,0)$

$\vdots$

$\mathbf {i} _{n}=(0,\cdots,0,1)$

alınabilir.

Bir vektör

$\mathbf {a} =\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {i} _{j}$

şeklinde düşünüldüğündeEinstein toplam uzlaşımıkullanılarak

$a=a_{j}\mathbf {i} _{j}\quad \quad \quad (j=1,2,\cdots,n)$

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim,toplam simgesindenkurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Eşitlik

Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.

$\mathbf {a} =\mathbf {b}$

Vektör toplamı

İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir. 1. şekil parelelkenar metodu,2.si ise uç uca ekleme metodudur.

$\mathbf {a} +\mathbf {b}$	$=(a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {i} _{n})+(b_{1}\mathbf {i} _{1}+b_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {i} _{n})$
	$=(a_{1}+b_{1})\mathbf {i} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {i} _{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {i} _{n}$
	$={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{n}\\a_{2}+b_{n}\\\cdots \\a_{3}+b_{n}\end{bmatrix}}$

Skaler (sayıl) ile çarpma

Bir vektör uzayında,skalerve vektörler arasında bir çarpma vedağılmaolması gerekir.r,ssayıllarıFcismine ait olsun. O halde$\mathbf {a}$,$\mathbf {b}$vektörleri için,

• Sayılilebirleşme:$r(s\mathbf {a} )=(rs)\mathbf {a}$
• Sayıltoplaması üzerinedağılma:$(r+s)\mathbf {a} =r\mathbf {a} +s\mathbf {a}$
• Vektör toplamı üzerinedağılma:$r(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=r\mathbf {a} +r\mathbf {b}$
• Sayılbirim ögeile çarpma:$1\mathbf {a} =\mathbf {a}$

özellikleri sağlanır.

Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.

$r\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}ra_{1}&ra_{2}&\cdots &ra_{n}\end{bmatrix}}$

Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)

İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, birikiçtir(dyad).

$\mathbf {a} \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&b_{2}&&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&a_{1}b_{2}&&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&&a_{2}b_{2}&&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&&a_{3}b_{2}&&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}}$

Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+a_{3}\mathbf {i} _{3}$

$\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} _{1}+b_{2}\mathbf {i} _{2}+b_{3}\mathbf {i} _{3}$

şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım

$\mathbf {a} \mathbf {b} \,$	=	$(a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+a_{3}\mathbf {i} _{3})(b_{1}\mathbf {i} _{1}+b_{2}\mathbf {i} _{2}+b_{3}\mathbf {i} _{3})$
	=	$a_{1}b_{1}\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{1}+a_{1}b_{2}\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}+a_{1}b_{3}\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{3}$
	+	$a_{2}b_{1}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{2}+a_{2}b_{3}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{3}$
	+	$a_{3}b_{1}\mathbf {i} _{3}\mathbf {i} _{1}+a_{3}b_{2}\mathbf {i} _{3}\mathbf {i} _{2}+a_{3}b_{3}\mathbf {i} _{3}\mathbf {i} _{3}$

olarak elde edilir. Buradaki$\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}$gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir$\mathbf {i}$cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden$\mathbf {i} _{ij}=\mathbf {i} _{i}\mathbf {i} _{j}$olarak tanımlandığında

$\quad$	=	$a_{1}b_{1}\mathbf {i} _{11}+a_{1}b_{2}\mathbf {i} _{12}+a_{1}b_{3}\mathbf {i} _{13}$
	+	$a_{2}b_{1}\mathbf {i} _{21}+a_{2}b_{2}\mathbf {i} _{22}+a_{2}b_{3}\mathbf {i} _{23}$
	+	$a_{3}b_{1}\mathbf {i} _{31}+a_{3}b_{2}\mathbf {i} _{32}+a_{3}b_{3}\mathbf {i} _{33}$

elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.

Konum (yer) vektörü

Kartezyen koordinat düzleminde bir konum(yer) vektörü. Vektörün koordinatları:A vektörü = (2,3)

Başlangıç noktasıorijinolan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz.

Başlangıç noktasıO = (0,0),bitiş noktasıA = (2,3)olan iki boyutlu bir vektör düşünelim. Bu vektör basit olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

${\overrightarrow {A}}=(2,3)$

Üç boyutlukartezyen koordinat sisteminde(veya$\mathbb {R} ^{3}$) vektörler, üç skaler sayı ile tanımlanır:

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)$

Standart temel vektörler

"i","j","k"temel birim vektörleri.

Birim vektör, uzunluğu 1 birim olan vektörlere denir. Üç boyutlukartezyen koordinat sistemindex,yvezeksenleri üzerinde yer alan üç tane temel birim vektör vardır. Bunlar:

$i={\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0)$

$j={\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0)$

$k={\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)$

ise:

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{\mathbf {i} }+b{\mathbf {j} }+c{\mathbf {k} }$

Bir vektörün normu

Avektörünün uzunluğu (normu ya da boyu),||A||sembolü ile gösterilir.

"i","j"ve"k"temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü,Pisagor teoremininbir sonucudur. O halde:

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{\mathbf {i} }+b{\mathbf {j} }+c{\mathbf {k} }$

Yukarıdaki vektörü ele alırsak:

$\left\|{\overrightarrow {G}}\right\|={\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}$

İki vektörün birbiriyle çarpımı

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)$

${\overrightarrow {H}}=(d,e,f)$

Bu iki vektörü ele alırsak:

İç (Skaler) çarpım (${\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}$)

Nokta çarpımda denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Bileşenleri türünden çarpımı

Örnek:

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)$

${\overrightarrow {H}}=(d,e,f)$

Bu iki vektörü ele alırsak:

${\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}={(a,b,c)}\cdot {(d,e,f)}={a}\cdot {d}+{b}\cdot {e}+{c}\cdot {f}$

Aralarındaki açı türünden çarpımı

${\overrightarrow {A}}$ve${\overrightarrow {B}}$vektörleri arasındaki "theta"açısı.

Örnek:

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)$

${\overrightarrow {H}}=(d,e,f)$

Bu iki vektörü ele alırsak:

${\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}=\left\|{\overrightarrow {G}}\right\|\left\|{\overrightarrow {H}}\right\|\cos \theta$

$\cos \theta$'nın değerini bulmak için:

$\cos \theta ={\frac {{\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}}{\left\|{\overrightarrow {G}}\right\|\left\|{\overrightarrow {H}}\right\|}}$

Vektörel çarpım (${\overrightarrow {G}}\times {\overrightarrow {H}}$)

Çapraz çarpımda denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Örnek:

${\overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{\mathbf {i} }+b{\mathbf {j} }+c{\mathbf {k} }$

${\overrightarrow {H}}=(d,e,f)=d{\mathbf {i} }+e{\mathbf {j} }+f{\mathbf {k} }$

Bu iki vektörü ele alırsak:

${\overrightarrow {G}}\times {\overrightarrow {H}}$	$={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &&\mathbf {j} &&\mathbf {k} \\a&&b&&c\\d&&e&&f\end{vmatrix}}$
$\quad$

Yukarıdaki problem birdeterminantproblemidir.Sarrus kuralıile hesaplanır.

Ek kaynaklar

• Ivanov, A.B. (2001),"Vector",Hazewinkel, Michiel (Ed.),Encyclopaedia of Mathematics,Kluwer Academic Publishers,ISBN978-1556080104.
• Heinbockel, J. H. (2001),Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics,Trafford Publishing,ISBN1-55369-133-4,6 Ocak 2020 tarihinde kaynağındanarşivlendi,erişim tarihi: 30 Eylül 2022