Випадкова матриця

Випадкова матриця— матриця, елементи якої розподілені випадковим чином. Як правило, задається закон розподілу елементів. Утеорії випадкових матрицьвивчається статистика власних значень випадкових матриць, а іноді також статистика їх власних векторів.

Гауссові ансамблі

Найчастіше досліджують гауссові ансамблі випадкових матриць.

Гаусовий унітарний ансамбльGUE(n) описується Гауссовою мірою з густиною

${\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}$

на просторіn × nермітових матрицьH= (H_ij)ⁿ
_i,j=1.ТутZ_GUE(n) = 2^n/2π^n2/2— стала нормування, вибрана щоби інтеграл по густині дорівнював одиниці. Словоунітарнийпозначає факт, що розподіл інваріантний щодо унітарних перетворень. Гаусовий унітарний ансамбль моделює гамільтоніани без T-інваріантності.

Гаусовий ортогональний ансамбльGOE(n) описується Гауссовою мірою з густиною

${\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}$

на просторіn × nдійсних симетричних матрицьH= (H_ij)ⁿ
_i,j=1.Їх розподіл інваріантний щодо ортогональних перетворень і моделює гамільтоніани з T-інваріантністю.

Література

• Mehta M. L..Random Matrices. — 3rd ed. — New York: Academic Press, 1991.