Đường thẳng

Đối với các định nghĩa khác, xemĐường.

Hình học
Hình chiếu mộtmặt cầulênmặt phẳng.
Đại cương Lịch sử
Phân nhánh Euclid Phi Euclid Elliptic Cầu Hyperbol Hình học phi Archimedes Chiếu Afin Tổng hợp Giải tích Đại số Số học Diophantos Vi phân Riemann Symplectic Phức Hữu hạn Rời rạc Kỹ thuật số Lồi Tính toán Fractal Liên thuộc
Khái niệm Chiều Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa Đỉnh Đường cong Đường chéo Góc Song song Vuông góc Đối xứng Đồng dạng Tương đẳng
Không chiều Điểm
Một chiều Đường thẳng Đoạn thẳng Tia Chiều dài
Hai chiều Mặt phẳng Diện tích Đa giác Tam giác Đường cao (tam giác) Cạnh huyền Định lý Pythagoras Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Rhomboid Tứ giác Hình thang Hình diều Đường tròn Đường kính Chu vi Diện tích
Ba chiều Thể tích Khối lập phương Hình hộp chữ nhật Hình trụ tròn Hình chóp Mặt cầu
Bốn chiều/ số chiều khác Tesseract Siêu cầu
Nhà hình học
theo tên Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Trương Hành
theo giai đoạn trước Công nguyên Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Trương Hành Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Ngày nay Atiyah Gromov

Đường thẳnglà một khái niệm nguyên thủy không định nghĩa, được sử dụng làm cơ sở để xây dựng các khái niệm toán học khác. Đường thẳng được hiểu là một đối tượng hình học không cóchiều rộng(không gian một chiều) cóđộ congbằng không tại mọi điểm, tuy nhiên đây không phải là một định nghĩa.

Khái niệm

Mộtđường thẳngđược hiểu như là một đường dài (vô hạn), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối. Tronghình học Euclide,có một và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau. Đường thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đó.

Hai hay ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng được gọi làcộng tuyến.Trong mộtmặt phẳng,hai đường thẳng khác nhau hoặc làsong songtức không bao giờ gặp nhau, hoặcgiao nhautại một và chỉ một điểm. Haimặt phẳnggiao nhau nhiều nhất là một đường thẳng.

Đường thẳng trongmặt phẳng Descartescó thể được mô tả bằngphương trình tuyến tínhvàhàm tuyến tính.

Three lines — the red and blue lines have same slope, while the red and green ones have same y-intercept.

Khái niệm trực quan về đường thẳng có thể được hình thức hóa bằng nhiều cách. Nếuhình họcđược phát triển theo phương pháptiên đề(như trong tác phẩmCác phần tửcủaEuclidhay trong tác phẩm sau nàyCơ sở của hình họccủaDavid Hilbert), thì đường thẳng chẳng được định nghĩa gì cả, mà chỉ được đặc trưng bởi các tính chất của nó trong hệ tiên đề. "Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì nó chính là đường thẳng.". Trong khi Euclide đã từng định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy "có chiều dài mà không có bề dày", thực ra ông chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này ở các chứng minh phía sau trong tác phẩm của mình.

Trongkhông gian EuclideRⁿ(và cũng như trong mọikhông gian vectorkhác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng

$L=\{\mathbf {a} +t\mathbf {b} \mid t\in \mathbb {R} \}$

vớiavàblà haivectorcho trước trongRⁿ,đồng thờibphải khác0.Vectorbxác định hướng của đường thẳng, vàalà một điểm nằm trên đường thẳng. Chọn các vectoravàbkhác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một đường thẳng.

Trongkhông gian hai chiều,chẳng hạn trong mộtmặt phẳng,hai đường thẳng phân biệt hoặc là haiđường thẳng song songhoặc phải cắt nhau tại một điểm. Tuy nhiên, trongkhông gian nhiều hơn hai chiều,hai đường thẳng có thể khôngsong songnhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau.

TrongR²,mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính có dạng

$L=\{(x,y)\mid ax+by=-c\}\,$

vớia,bvàclà cáchệ sốthực cố định trong đóavàbkhông đồng thời bằng 0 (xem phầnphương trình tuyến tínhđể có thêm các dạng khác). Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều làđộ dốc,giao điểm của nó với trục Ox, giao điểm của nó với trục Oy.

Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ vềtrục số thựcnhư là một nguyên mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cảsố siêu thựcvà kể cảđường thẳng dàitrong lý thuyếttopođể làm nguyên mẫu cho đường thẳng.

Tính chất "thẳng" của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép đường thẳngcực tiểu hóakhoảng cáchgiữa hai điểm, mà về sau có thể được tổng quát hóa thành khái niệmđường trắc địatrongđa tạpkhả vi.

Phương trình đường thẳng

Bài chi tiết:Phương trình đường thẳng

Tronghệ tọa độ Descartesvuông góc Oxy, phương trình đường thẳng có dạng$y=ax+b$trong đó a là hệ số góc. Hoặc tổng quát hơn là phương trình$Ax+By+C=0$.

Tia

Tronghình học Euclid,nếu cho một đường thẳnglvà hai điểmAvàB,mộttia,haynửa-đường thẳng,có gốcAvà đi quaBlàtập hợpcác điểmCtrên đường thẳnglsao choAvàBđều thuộc tập hợp này vàAkhông nằm giữaCvàB.Điều này có nghĩa là, tronghình học,một tia phát xuất từ mộtđiểmrồi đi mãi về mộthướng.

Tia

Trongquang học,nhất là trongquang hình,đường lan truyền củaánh sánghoặc cácbức xạ điện từkhác, trong môi trườngđồng nhất,là một đường thẳng và được gọi làtia sánghayquang tuyến.Tia này vuông góc vớimặt sóngtrong lý thuyếtquang sóng.

Xem thêm

• Đoạn thẳng
• Hình học affine
• Quang tuyến
• Phương trình tuyến tính
• Hàm tuyến tính
• Sự nhiễu xạ
• Không-thời gian
• Hình học phi Euclide
• Lý thuyết tương đối

Liên kết ngoài

• Đường thẳngtạiTừ điển bách khoa Việt Nam
• Weisstein, Eric W.,"Đường"từMathWorld.