Khi và chỉ khi

Trong logic học, hai mệnh đề P và Q gọi là tương đương logic hay tương đương với nhau nếu P và Q đồng thời có cùng một giá trị chân lý; nghĩa là P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Ta viết: P ⇔ Q

"⇔" gọi là dấu liên hệ tương đương.

Logic toán

Trong logic toán,bảng chân lýcủa một quan hệ tương đương như sau:

P	Q	P ⇔ Q
Đúng	Đúng	Đúng
Đúng	Sai	Sai
Sai	Đúng	Sai
Sai	Sai	Đúng

Dễ thấy, mối quan hệ tương đương P ⇔ Q chẳng qua là (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P kéo theo Q) và (Q kéo theo P)).

Nói cách khác, hai mệnh đềPvàQtương đương nhau khi và chỉ khi mệnh đề nàykéo theomệnh đề kia và ngược lại.

Trong trường hợp này, hai phát biểu "P ⇒ Q" và "Q ⇒ P" gọi làđảo đềcủa nhau.

Để chứng minh mối quan hệ tương đương P ⇔ Q, ta phải chứng minh mối quan hệ kéo theo P ⇒ Q và chiều ngược lại.

Chú ý rằng (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P)

Trongngôn ngữtự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương giữaPvàQ,người ta có nhiều cách nói:

• Pđúngkhi và chỉ khiQđúng.
• Để choPđúng, điều kiện cần và đủ làQđúng.
• Điều kiện cần và đủđểPđúng làQđúng.
• Pđúng là một điều kiện cần và đủ đểQđúng.
• Ptương đương vớiQ.

Tính chất

• P ⇔ P (tính phản xạ)
• (P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇔ P) (tính đối xứng)
• ((P ⇔ Q) ⇔ R) ⇔ (P ⇔ (Q ⇔ R)) (tính kết hợp)
• ¬¬P ⇔ P (tương đương vớinguyên lý triệt tam)
• (P ⇔ Q) ⇔ (¬P ⇔ ¬Q) (contraposition)

Ví dụ

• Ta có

$\forall n\in \mathbb {N},n\geq 2,\forall x\in \mathbb {R} -\{1\},(x+1)^{n}=(x-1)^{n}\Leftrightarrow {\frac {(x+1)^{n}}{(x-1)^{n}}}=1$

• Mối quan hệ "tương đương" ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x²=y²) (bình phương lên) làsaivì thí dụ 2²=(-2)²không kéo theo được 2=-2
• Mối quan hệ tương đương sau là đúng

$\forall x\in [-1,+\infty ],x-1\geq {\sqrt {x+1}}\Leftrightarrow ((x-1)^{2}\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)$(bình phương lên)

Khi bình phương lên, ta mất thông tin "x-1 lớn hơn hoặc bằng một căn bậc hai" nên nó không âm, vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x-1>=0.

Nhận xét:

Chứng minh bằng các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng đơn giản, nhiều khi cần phải chứng minh riêng lẻ từng đảo đề tương ứng.

Phát biểu rằng "quan hệ tương đương P ⇔ Q là đúng"không có nghĩa là"PvàQđều đúng ",mà là"khi một trong hai mệnh đề là đúng (hoặc sai), mệnh đề còn lại cũng đúng (hoặc sai) đồng thời".

Quan hệ tương đương giữa nhiều mệnh đề

Xem xét ba mệnh đềP,QvàR.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P ⇔ Q ⇔ R, chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo sau:

P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P.

Giả sử các quan hệ P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P đã được thiết lập.

Để chứng minh rằng Q ⇒ P, ta dùng hai quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng P ⇒ R, do P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Cách chứng minh như trên gọi là chứng minh vòng.

Ta có thể tổng quát hóa đối vớinmệnh đề P₁,P₂…P_n.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P₁⇔ P₂⇔… ⇔ P_n,chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo:

P₁⇒ P₂,P₂⇒ P₃…P_n-1⇒ P_nvà P_n⇒ P₁.